تقسیم دوتایی را می توان با استفاده از روش تقسیم طولانی حل کرد ، روشی که می تواند فرآیند تقسیم را به شما آموزش دهد و همچنین برنامه های کامپیوتری ساده ایجاد کنید. علاوه بر این ، روشهای مکمل تفریق تکراری می تواند روشهایی را ارائه دهد که ممکن است با آنها آشنا نباشید ، حتی اگر برای برنامه نویسی معمولاً استفاده نمی شوند. زبانهای ماشین معمولاً از الگوریتمهای تقریبی برای کارآمدتر استفاده می کنند ، اما این در این مقاله توضیح داده نشده است.
گام
روش 1 از 2: استفاده از Long Division
مرحله 1. تقسیم طولانی اعشاری را دوباره یاد بگیرید
اگر مدتهاست که از تقسیم طولانی در سیستم اعشاری معمولی (مبنای ده) استفاده نمی کنید ، با استفاده از مثال مثال 172 تقسیم بر 4 مبانی را مرور کنید. در غیر این صورت ، این مرحله را رد کرده و مستقیماً برای کشف به مرحله بعد بروید. یک فرآیند مشابه با اعداد دودویی
- صورت کسر تقسیم بر مخرج ، و نتیجه این می شود عامل.
- مخرج را با اولین عدد موجود در قیاس مقایسه کنید. اگر مخرج بزرگتر است ، اعداد را به شمارنده ادامه دهید تا مخرج کوچکتر شود. (برای مثال ، اگر 172 را بر 4 تقسیم کنیم ، 4 را با 1 مقایسه می کنیم ، می دانیم که 4 بزرگتر از 1 است ، بنابراین 4 را با 17 مقایسه کنید.)
- اولین رقم ضریب را در بالای آخرین شمارشگر مورد استفاده در مقایسه بنویسید. وقتی 4 را با 17 مقایسه می کنیم ، می بینیم که 4 چهار بار توسط 17 پوشانده شده است ، بنابراین 4 را به عنوان اولین عدد ضریب بالاتر از 7 می نویسیم.
- ضرب و تفریق کنید تا بقیه را بدست آورید. ضریب را در مخرج ضرب کنید ، یعنی 4 × 4 = 16. 16 را زیر 17 بنویسید ، سپس 17 را بر 16 کم کنید تا بقیه را که 1 است بدست آورید.
- روند را تکرار کنید. ما دوباره مخرج 4 را با عدد بعدی که 1 است مقایسه می کنیم ، توجه داشته باشید که 4 بزرگتر از 1 است ، سپس عدد بعدی را از شمارنده "تفریق" می کنیم ، با مقایسه 4 با 12 ادامه می دهیم. می بینیم که 4 با 12 بار سه بار باقی می ماند ، بنابراین 3 را به عنوان عدد بعدی ضریب می نویسیم. پاسخ 43 است.
مرحله 2. یک مسئله تقسیم طولانی را به صورت باینری آماده کنید
بیایید 10101 11. با استفاده از 10101 به عنوان عدد و 11 به عنوان مخرج برای تقسیم طولانی بنویسید. در بالای آن به عنوان مکانی برای نوشتن ضریب و در زیر آن به عنوان مکانی برای نوشتن محاسبات ، فضای خالی بگذارید.
مرحله 3. مخرج را با اولین رقم شمارنده مقایسه کنید
این عمل همانند تقسیم طولانی در اعشار عمل می کند ، اما در واقع در سیستم اعداد باینری بسیار ساده تر است. در دوتایی فقط دو گزینه وجود دارد ، یا نمی توانید عدد را بر مخرج تقسیم کنید (به معنی 0) یا مخرج فقط یکبار (به معنی 1) در نظر گرفته شده است:
11> 1 ، بنابراین 11 "پوشیده" نیست 1. عدد 0 را به عنوان اولین عدد ضریب (بالای اولین رقم شمارنده) بنویسید
مرحله 4. روی عدد بعدی کار کنید و این کار را تکرار کنید تا عدد 1 به دست آید
مراحل زیر در مثال ما به شرح زیر است:
- عدد بعدی را از شمارنده بدست آورید. 11> 10. 0 را در ضریب بنویسید.
- عدد بعدی را پایین بیاورید. 11 <101. عدد 1 را در ضریب بنویسید.
مرحله 5. باقیمانده تقسیم را پیدا کنید
مانند اعداد تقسیم طولانی ، عددی را که بدست آوردیم (1) در مخرج (11) ضرب کرده ، سپس نتیجه را زیر عدد موازی با عددی که تازه محاسبه کرده ایم بنویسید. در سیستم اعداد دوتایی ، ما می توانیم این روند را خلاصه کنیم ، زیرا 1 x مخرج همیشه مخرج یکسان است:
- مخرج را در زیر شمارنده بنویسید. در اینجا ، 11 را موازی با سه رقم اول شمارنده (101) بنویسید.
- برای به دست آوردن باقیمانده تقسیم ، که 10 است ، 101 - 11 را بشمارید. در صورت نیاز به یادگیری مجدد ، چگونه از اعداد دوتایی کم کنید.
مرحله 6. این کار را تکرار کنید تا مشکل حل شود
عدد بعدی را از مخرج به باقیمانده تقسیم کاهش دهید تا 100 شود. از 11 <100 ، 1 را به عنوان عدد بعدی در تقسیم بنویسید. محاسبه را مانند قبل ادامه دهید:
- 11 را زیر 100 بنویسید و سپس کم کنید تا 1 را بدست آورید.
- آخرین رقم شمارنده را به 11 کاهش دهید.
- 11 = 11 ، بنابراین 1 را به عنوان آخرین رقم ضریب (جواب) بنویسید.
- از آنجا که هیچ چیز باقی نمی ماند ، محاسبه کامل است. پاسخ این است 00111 ، یا فقط 111.
مرحله 7. در صورت لزوم نقاط پایه را اضافه کنید
گاهی اوقات ، نتیجه محاسبه یک عدد صحیح نیست. اگر بعد از استفاده از آخرین رقم ، هنوز تقسیم بندی باقی مانده است ، ".0" را به عدد و "" اضافه کنید. به ضریب ، بنابراین شما هنوز می توانید یک عدد دیگر را بدست آورید و محاسبه را ادامه دهید. این کار را تکرار کنید تا به دقت مورد نظر برسید ، سپس نتیجه را گرد کنید. روی کاغذ ، می توانید با حذف 0 آخر ، یا اگر آخرین آن 1 است ، آن را دور بریزید و آخرین شماره آخر را به 1 اضافه کنید. در برنامه نویسی ، یکی از چندین الگوریتم استاندارد گرد را دنبال کنید تا هنگام تبدیل اعداد باینری از خطا جلوگیری کنید. به اعشاری و بالعکس
- تقسیم دوتایی اغلب منجر به تکرار قسمتهای کسری می شود ، بیشتر از یک فرایند مشابه در سیستم اعشاری.
- این را بیشتر "نقطه رادیکس" می نامند که برای هر پایه ای کاربرد دارد ، زیرا اصطلاح "نقطه اعشار" فقط در سیستم اعشاری اعمال می شود.
روش 2 از 2: استفاده از روش مکمل
مرحله 1. درک مفهوم اساسی
یکی از راه های حل مسئله تقسیم - بر هر مبنایی - این است که مخرج را از شمارنده و سپس بقیه را کم کنیم ، و شمارش این که چند بار می توان این فرایند را قبل از بدست آوردن یک عدد منفی تکرار کرد. مثال زیر یک محاسبه در مبنای ده است که 26 7 را محاسبه می کند:
- 26 - 7 = 19 (1 بار کم کنید)
- 19 - 7 = 12 (2)
- 12 - 7 = 5 (3)
- 5 - 7 = -2. اعداد منفی ، بنابراین یک قدم به عقب بردارید. نتیجه 3 است و مابقی بر 5 تقسیم می شود. توجه داشته باشید که این روش بخش کسری پاسخ را محاسبه نمی کند.
مرحله 2. نحوه تفریق با مکمل ها را بیاموزید
در حالی که می توانید از روش فوق در یک سیستم دودویی به راحتی استفاده کنید ، ما همچنین می توانیم از یک روش کارآمدتر استفاده کنیم ، که در برنامه نویسی کامپیوتر برای انجام تقسیم دوتایی در زمان صرفه جویی می کند. این با روش مکمل به صورت باینری تفریق می شود. در اینجا اصول اولیه ، محاسبه 111 - 011 (مطمئن شوید که طول دو عدد یکسان است):
- با تفریق هر رقم از 1. مکمل فرد برای عدد دوم را پیدا کنید. این مرحله در سیستم دودویی با تغییر هر 1 به 0 و هر 0 به 1 آسان است. در این مثال ، 011 به 100.
- 1 را به نتیجه محاسبه اضافه کنید: 100 + 1 = 101. این عدد را مکمل دو می نامند ، بنابراین تفریق را می توان به عنوان جمع حل کرد. در اصل ، نتیجه این محاسبه این است که پس از اتمام این فرآیند ، اعداد منفی را جمع می کنیم و اعداد مثبت را کم نمی کنیم.
- نتیجه را به عدد اول اضافه کنید. مشکل جمع را بنویسید و حل کنید: 111 + 101 = 1100.
- تعداد بیشتری را حذف کنید برای بدست آوردن نتیجه نهایی ، اولین عدد را از نتیجه محاسبه حذف کنید. 1100 100.
مرحله 3. دو مفهوم فوق را با هم ترکیب کنید
اکنون روش تفریق برای حل مسائل تقسیم و همچنین روش مکمل این دو برای حل مسائل تفریق را می شناسید. با استفاده از مراحل زیر ، می توانید این دو را در یک روش برای حل مشکل تقسیم ترکیب کنید. اگر می خواهید ، قبل از ادامه کار خودتان حل کنید.
مرحله 4. مخرج را از شمارنده کم کرده و مکمل آن دو را اضافه می کنیم
اجازه دهید روی مسئله 100011 000101 کار کنیم. اولین قدم حل 100011 - 000101 است ، با استفاده از روش مکمل این دو برای تبدیل این محاسبه به مجموع:
- دو مکمل 000101 = 111010 + 1 = 111011
- 100011 + 111011 = 1011110
- حذف اعداد اضافی → 011110
مرحله 5. 1 را به نتیجه تقسیم اضافه کنید
در یک برنامه کامپیوتری ، این جایی است که شما 1 را به ضریب اضافه می کنید. روی کاغذ ، گوشه ها را یادداشت کنید تا با کارهای دیگر قاطی نشوند. ما موفق شدیم یک بار تفریق کنیم ، بنابراین نتیجه تقسیم تا اینجا 1 است.
مرحله 6. با کسر مخرج از باقیمانده محاسبه ، فرآیند را تکرار کنید
نتیجه آخرین محاسبه ما باقی مانده تقسیم پس از یک بار "پوشاندن" مخرج است. مکمل مخرج این دو را در هر تکرار اضافه کنید و ارقام اضافی را حذف کنید. در هر تکرار 1 را به ضریب افزوده و تکرار کنید تا بقیه محاسبه برابر یا کوچکتر از مخرج شود:
- 011110 + 111011 = 1011001 → 011001 (ضریب 1 + 1 = 10)
- 0110001 + 111011 = 1010100 → 010100 (ضریب 10 + 1 = 11)
- 010100 + 111011 = 1001111 → 001111 (11+1=100)
- 001111 + 111011 = 1001010 → 001010 (100+1=101)
- 001010 + 111011 = 10000101 → 0000101 (101+1=110)
- 0000101 + 111011 = 1000000 → 000000 (110+1=111)
- 0 کمتر از 101 است ، بنابراین ما در اینجا متوقف می شویم. پاسخ این فرایند تقسیم این است 111 به در حالی که باقیمانده تقسیم نتیجه نهایی فرایند تفریق است ، در این مورد 0 (بدون باقی مانده).
نکات
- قبل از اعمال ریاضیات دوتایی در مجموعه دستورالعمل های ماشین ، دستورالعمل های افزایش (افزودن 1) ، کاهش (تفریق 1) یا حذف از پشته (پشته پاپ) باید در نظر گرفته شود.
- اگر اعداد دارای تعداد رقم متفاوتی باشند ، روش مکمل این دو برای تفریق کار نخواهد کرد. برای رفع این مشکل ، یک عدد صفر را به ابتدای عدد برای یک عدد کوچکتر اضافه کنید.
- اعداد منفی را در اعداد دوتایی منفی قبل از محاسبه نادیده بگیرید ، مگر برای تعیین مثبت یا منفی بودن پاسخ.
