فاصله ، که اغلب به متغیر "s" داده می شود ، اندازه گیری فضا است که یک خط مستقیم بین دو نقطه است. فاصله می تواند به فضای بین دو نقطه غیرقابل حرکت اشاره کند (به عنوان مثال ، قد شخص فاصله از پایین پا تا بالای سر است) یا می تواند به فضای بین موقعیت فعلی یک جسم در حال حرکت و محل اولیه ای که جسم شروع به حرکت کرد. اکثر مسائل مسافت را می توان با معادله حل کرد s = v × t ، جایی که s فاصله است ، v متوسط سرعت و t زمان است ، یا استفاده می شود s = ((x2 - ایکس1)2 + (y2 - y1)2) ، کجا (x1، y1) و (x2، y2) مختصات x و y دو نقطه هستند.
گام
روش 1 از 2: محاسبه فاصله با سرعت و زمان متوسط
مرحله 1. مقادیر متوسط سرعت و زمان را بیابید
هنگام محاسبه مسافتی که یک جسم متحرک طی کرده است ، دو قطعه اطلاعات برای این محاسبه مهم است: سرعت (یا سرعت) و زمان که جسم متحرک سفر کرده است. با این اطلاعات می توان مسافت طی شده توسط جسم را با استفاده از فرمول s = v × t محاسبه کرد.
برای درک بهتر فرایند استفاده از فرمول فاصله ، اجازه دهید یک مشکل مثال را در این بخش حل کنیم. فرض کنید ما در مسیری با سرعت 120 مایل در ساعت (حدود 193 کیلومتر در ساعت) حرکت می کنیم و می خواهیم بدانیم که در نیم ساعت تا چه مسافتی را طی کرده ایم. استفاده کنید 120 مایل در ساعت به عنوان مقدار سرعت متوسط و 0.5 ساعت به عنوان ارزش زمان ، این مشکل را در مرحله بعدی حل می کنیم.
مرحله 2. سرعت متوسط را در زمان ضرب کنید
پس از آگاهی از سرعت متوسط یک جسم متحرک و زمان طی شده ، محاسبه مسافت طی شده نسبتاً آسان است. فقط دو مقدار را ضرب کنید تا جواب را بیابید.
- با این حال ، توجه داشته باشید که اگر واحد زمان استفاده شده در مقدار سرعت متوسط با مقدار استفاده شده در زمان تفاوت داشته باشد ، باید یکی را برای مطابقت تغییر دهید. به عنوان مثال ، اگر ما دارای مقدار سرعت متوسط در کیلومتر در ساعت و مقدار زمان در دقیقه بودیم ، باید مقدار زمان را بر 60 تقسیم کنید تا آن را به ساعت تبدیل کنید.
- بیایید مشکل مثال خود را تمام کنیم. 120 مایل در ساعت × 0.5 ساعت = 60 مایل به توجه داشته باشید که واحد ها در مقدار زمان (ساعت) مخرج سرعت متوسط (ساعت) را حذف می کنند و تنها واحدهای مسافت (مایل) باقی می ماند.
مرحله 3. معادله را برای محاسبه متغیر دیگر تغییر دهید
سادگی معادله فاصله اولیه (s = v × t) استفاده از این معادله را برای یافتن مقدار متغیری غیر از فاصله آسان می کند. کافی است متغیری را که می خواهید با توجه به قوانین اساسی جبر پیدا کنید جدا کنید ، سپس مقادیر دو متغیر دیگر را وارد کنید تا مقدار متغیر سوم را بیابید. به عبارت دیگر ، برای محاسبه سرعت متوسط جسم ، از معادله استفاده کنید v = s/t و برای محاسبه زمان سپری شده توسط جسم ، از معادله استفاده کنید t = s/v.
- به عنوان مثال ، فرض کنید ما می دانیم که یک ماشین 60 مایل را در 50 دقیقه طی کرده است ، اما ما برای سرعت متوسط زمانی که جسم در حال حرکت است ، مقداری نداریم. در این مورد ، ما می توانیم متغیر v را در معادله فاصله اصلی جدا کنیم تا v = d/t بدست آوریم ، سپس فقط 60 مایل/50 دقیقه را تقسیم می کنیم تا جواب 1.2 مایل در دقیقه به دست آید.
- توجه داشته باشید که در مثال ، پاسخ سرعت دارای واحد غیر معمول (مایل در دقیقه) است. برای به دست آوردن پاسخ در مایل/ساعت متداول تر ، در دقیقه 60 در ساعت ضرب کنید تا به نتیجه برسید 72 مایل در ساعت.
مرحله 4. توجه داشته باشید که متغیر "v" در فرمول فاصله به سرعت متوسط اشاره دارد
درک این نکته ضروری است که فرمول فاصله اصلی ، نمای ساده ای از حرکت یک جسم را ارائه می دهد. فرمول فاصله فرض می کند که یک جسم در حال حرکت دارای سرعت ثابت است - به عبارت دیگر ، فرض می کند که یک جسم در حال حرکت دارای یک سرعت واحد و بدون تغییر است. برای مسائل ریاضی انتزاعی ، مانند مواردی که ممکن است در محیط دانشگاهی با آنها روبرو شوید ، گاهی اوقات هنوز هم می توان حرکت یک جسم را با استفاده از این فرض مدل کرد. با این حال ، در زندگی واقعی ، این مثالها اغلب به طور دقیق حرکت اجسام متحرک را منعکس نمی کنند ، که در واقع می تواند با گذشت زمان سرعت بخشیده ، کندتر شود ، متوقف شود و معکوس شود.
- به عنوان مثال ، در مثال مثال بالا ، ما به این نتیجه رسیدیم که برای طی کردن 60 مایل در 50 دقیقه ، ما باید با سرعت 72 مایل در ساعت حرکت کنیم. با این حال ، این تنها در صورتی صادق است که در تمام طول سفر با یک سرعت حرکت کنید. به عنوان مثال ، با حرکت 80 مایل در ساعت برای نیمی از سفر و 64 مایل در ساعت در نیمه باقی مانده ، ما همچنان 60 مایل را در 50 دقیقه طی می کنیم - 72 مایل در ساعت = 60 مایل/50 دقیقه = ؟؟؟؟؟
- راه حل های مبتنی بر حساب که از مشتقات استفاده می کنند ، اغلب برای تعیین سرعت یک جسم در موقعیت های واقعی ، انتخاب بهتری نسبت به فرمول های فاصله دارند ، زیرا تغییرات سرعت ممکن است.
روش 2 از 2: محاسبه فاصله بین دو نقطه
مرحله 1. دو مختصات مکانی دو نقطه را پیدا کنید
اگر به جای محاسبه مسافتی که یک جسم متحرک طی کرده است ، نیاز به محاسبه فاصله بین دو شیء غیر منقول دارید؟ در چنین حالتی ، فرمول فاصله مبتنی بر سرعت که در بالا توضیح داده شد ، کار نمی کند. خوشبختانه می توان از فرمول های مختلف فاصله برای محاسبه آسان فاصله مستقیم بین دو نقطه استفاده کرد. با این حال ، برای استفاده از این فرمول ، باید مختصات دو نقطه را بدانید. در صورت استفاده از فاصله های یک بعدی (مانند خط اعداد) ، مختصات شامل دو عدد ، x1 و x2به اگر فاصله ها را در دو بعد مدیریت می کنید ، به دو مقدار (x ، y) ، (x) نیاز دارید1، y1) و (x2، y2) در نهایت ، برای سه بعد ، به مقدار (x) نیاز دارید1، y1، z1) و (x2، y2، z2).
مرحله 2. فاصله یک بعدی را با تفریق مقادیر مختصات دو نقطه محاسبه کنید
محاسبه فاصله یک بعدی بین دو نقطه زمانی که از قبل ارزش هر نقطه را می دانید آسان است. فقط از فرمول استفاده کنید s = | x2 - ایکس1| به در این فرمول ، x را کم می کنید1 از x2، سپس مقدار مطلق پاسخ خود را بگیرید تا فاصله بین x را بیابید1 و x2به معمولاً هنگامی که دو نقطه در یک خط یا محور عددی قرار دارند ، می خواهید از فرمول فاصله یک بعدی استفاده کنید.
- توجه داشته باشید که این فرمول از مقادیر مطلق (نماد " | |"). مقدار مطلق فقط به این معنی است که مقدار داخل نماد در صورت منفی بودن مثبت می شود.
-
برای مثال ، فرض کنیم در کنار جاده در یک بزرگراه کاملاً مستقیم توقف می کنیم. اگر یک شهر 5 مایل جلوتر ما و یک شهر دیگر 1 مایل پشت ما وجود دارد ، فاصله این دو شهر چقدر است؟ اگر شهر 1 را x قرار دهیم1 = 5 و شهر 2 به صورت x1 = -1 ، ما می توانیم s ، فاصله بین دو شهر را به روش زیر محاسبه کنیم:
- s = | x2 - ایکس1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 مایل.
مرحله 3. با استفاده از قضیه فیثاغورس فاصله دو بعدی را محاسبه کنید
محاسبه فاصله بین دو نقطه در فضای دو بعدی پیچیده تر از یک بعدی است ، اما دشوار نیست. فقط از فرمول استفاده کنید s = ((x2 - ایکس1)2 + (y2 - y1)2) به در این فرمول ، دو مختصات x را کم کنید ، ریشه مربع را محاسبه کنید ، دو مختصات y را کم کنید ، ریشه مربع را محاسبه کنید ، سپس دو نتیجه را با هم جمع کرده و ریشه مربع را محاسبه کنید تا فاصله بین دو نقطه را بیابید. این فرمول برای یک صفحه دو بعدی - به عنوان مثال ، بر روی یک نمودار x/y معمولی اعمال می شود.
- فرمول فاصله دو بعدی از قضیه فیثاغورث استفاده می کند ، که بیان می کند طول هیپوتنوز مثلث در سمت راست برابر با ریشه مربع مربع در دو ضلع دیگر است.
- به عنوان مثال ، فرض کنید ما دو نقطه در صفحه x -y داریم: (3 ، -10) و (11 ، 7) ، که به ترتیب مرکز یک دایره و یک نقطه روی دایره را نشان می دهند. برای یافتن فاصله خط مستقیم بین دو نقطه ، می توانیم آن را به روش زیر محاسبه کنیم:
- s = ((x2 - ایکس1)2 + (y2 - y1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
مرحله 4. فاصله سه بعدی را با تغییر فرمول فاصله دو بعدی محاسبه کنید
در سه بعد ، نقاط دارای مختصات z علاوه بر مختصات x و y هستند. برای محاسبه فاصله بین دو نقطه در فضای سه بعدی ، استفاده کنید s = ((x2 - ایکس1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2) به این یک فرم اصلاح شده از فرمول فاصله دو بعدی است که در بالا توضیح داده شد که شامل مختصات z است. با کم کردن دو مختصات z ، محاسبه ریشه مربع و ادامه با بقیه فرمول اطمینان حاصل می شود که پاسخ نهایی شما نشان دهنده فاصله سه بعدی بین دو نقطه است.
- برای مثال ، فرض کنید ما فضانوردانی هستیم که در فضا بین دو سیارک شناور هستیم. یک سیارک در حدود 8 کیلومتر جلوتر ، 2 کیلومتر در سمت راست و 5 کیلومتر در زیر ما قرار دارد ، در حالی که دیگری حدود 3 کیلومتر در عقب ، 3 کیلومتر در سمت چپ و 4 کیلومتر بالاتر از ما قرار دارد. اگر موقعیت دو سیارک را با مختصات (8 ، 2 ، -5) و (-3 ، -3 ، 4) نشان دهیم ، می توان فاصله بین آنها را به روش زیر محاسبه کرد:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15 ، 07 کیلومتر
