در محاسبه ، وقتی معادله ای برای y دارید که به شکل x نوشته شده است (به عنوان مثال y = x2 -3x) ، به راحتی می توان از تکنیک های مشتق اولیه استفاده کرد (که ریاضیدانان از آنها به عنوان تکنیک های مشتق تابع ضمنی یاد می کنند) برای یافتن مشتق. با این حال ، برای معادلاتی که ساخت آنها فقط با عبارت y در یک طرف علامت معادل مشکل است (به عنوان مثال x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19) ، رویکرد متفاوتی مورد نیاز است. با تکنیکی به نام مشتقات تابع ضمنی ، به راحتی می توانید مشتقات معادلات چند متغیر را بیابید به شرطی که اصول مشتقات تابع صریح را بدانید!
گام
روش 1 از 2: استخراج سریع معادلات ساده
مرحله 1. عبارات x را طبق معمول بدست آورید
هنگام تلاش برای بدست آوردن یک معادله چند متغیر مانند x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 ، ممکن است دشوار باشد که بدانید از کجا شروع کنید. خوشبختانه ، اولین مرحله مشتق یک تابع ضمنی ساده ترین است. فقط کافی است که برای شروع اصطلاحات x و ثابت های دو طرف معادله را طبق قوانین مشتقات معمولی (صریح) بدست آورید. شرایط y را فعلا نادیده بگیرید.
-
بیایید سعی کنیم یک مثال از معادله ساده بالا را بدست آوریم. ایکس2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 دارای دو عبارت x: x است2 و -5 برابر اگر می خواهیم معادله ای بدست آوریم ، ابتدا باید این کار را انجام دهیم ، مانند این:
-
- ایکس2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19
-
(به توان 2 در x برسانید2 به عنوان ضریب ، x را در -5x حذف کرده و 19 را به 0 تغییر دهید)
- 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
-
مرحله 2. اصطلاحات y را گرفته و در کنار هر عبارت (dy/dx) اضافه کنید
برای مرحله بعدی ، فقط عبارت y را به همان روشی که x را بدست آورده اید ، بدست آورید. این بار ، اما (dy/dx) را در کنار هر عبارت همانطور که ضرایب را اضافه می کنید ، اضافه کنید. به عنوان مثال ، اگر y را پایین بیاورید2، سپس مشتق 2y (dy/dx) می شود. اصطلاحاتی را که x و y دارند فعلا نادیده بگیرید.
-
در مثال ما ، معادله ما اکنون به این شکل است: 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0. مرحله بعد از استخراج y را به صورت زیر انجام می دهیم:
-
- 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
- (به توان 2 در y بیاورید2 به عنوان ضریب ، y را در 8y حذف کرده و dy/dx را در کنار هر عبارت قرار دهید).
-
2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2= 0
-
مرحله 3. برای عباراتی که دارای x و y هستند از قاعده محصول یا قانون ضریب استفاده کنید
کار با اصطلاحاتی که x و y دارند کمی دشوار است ، اما اگر قوانین مربوط به محصول و ضریب مشتقات را بدانید ، به راحتی آن را خواهید یافت. اگر شرایط x و y ضرب شد ، از قاعده محصول استفاده کنید ((f × g) '= f' × g + g × f ') ، عبارت x را با f و عبارت y را با g جایگزین می کند. از طرف دیگر ، اگر اصطلاحات x و y متقابلاً منحصر به فرد هستند ، از قانون ضریب استفاده کنید ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g2) ، و متر را با f و مخرج را با g جایگزین می کند.
-
در مثال ما ، 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2 = 0 ، ما فقط یک عبارت داریم که دارای x و y - 2xy است2به از آنجا که x و y در یکدیگر ضرب می شوند ، ما از قاعده محصول برای بدست آوردن موارد زیر استفاده می کنیم:
-
-
2xy2 = (2 برابر) (y2)- 2x = f و y را تنظیم کنید2 = g در (f × g) '= f' × g + g × f '
- (f × g) '= (2x)' × (y2) + (2x) × (y2)'
- (f × g) '= (2) × (y2) + (2x) × (2y (dy/dx))
- (f × g) '= 2y2 + 4xy (dy/dx)
-
-
- با افزودن این به معادله اصلی خود ، بدست می آوریم 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0
مرحله 4. به تنهایی (dy/dx)
کار شما تقریبا تمام شده است! اکنون تنها کاری که باید انجام دهید حل معادله (dy/dx) است. این امر دشوار به نظر می رسد ، اما معمولاً اینطور نیست - به یاد داشته باشید که هر دو عبارت a و b در (dy/dx) ضرب می شوند ، به دلیل ویژگی توزیعی ضرب ، می توانند به صورت (a + b) (dy/dx) نوشته شوند. این تاکتیک می تواند جداسازی (dy/dx) را ساده تر کند - فقط همه اصطلاحات دیگر را در طرف دیگر پرانتز حرکت دهید ، سپس بر روی عبارات داخل پرانتز کنار (dy/dx) تقسیم کنید.
-
در مثال ما ، 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y را ساده می کنیم.2 + 4xy (dy/dx) = 0 به شرح زیر:
-
- 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y2 - 2x + 5
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)
-
روش 2 از 2: استفاده از تکنیک های پیشرفته
مرحله 1. مقدار (x، y) را برای پیدا کردن (dy/dx) برای هر نقطه وارد کنید
بی خطر! شما قبلاً معادله خود را به طور ضمنی گرفته اید - در اولین تلاش کار ساده ای نیست! استفاده از این معادله برای یافتن شیب (dy/dx) برای هر نقطه (x ، y) به آسانی است که مقادیر x و y را برای نقطه خود به سمت راست معادله متصل کنید ، سپس (dy/dx) را پیدا کنید. به
-
برای مثال ، فرض کنید می خواهیم برای معادله مثال بالا گرادیان را در نقطه (3 ، -4) پیدا کنیم. برای انجام این کار ، 3 را با x و -4 را با y جایگزین می کنیم ، که به صورت زیر حل می شود:
-
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)
- (dy/dx) = (-2 (-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
- (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))
- (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))
- (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))
- (dy/dx) = (-33)/(--48) = 3/48 ، یا 0, 6875.
-
مرحله 2. از قانون زنجیره برای توابع درون توابع استفاده کنید
قاعده زنجیره ای دانش مهمی است که هنگام کار بر روی مسائل محاسباتی (از جمله مشکلات مشتق تابع ضمنی) باید داشته باشید. قانون زنجیره ای بیان می کند که برای یک تابع F (x) که می تواند به صورت (f) نوشته شود o g) (x) ، مشتق F (x) برابر است با f '(g (x)) g' (x) به برای مشکلات مشتق تابع ضمنی دشوار ، این بدان معناست که می توان بخش های مختلف معادله را استخراج کرد و سپس نتایج را ترکیب کرد.
-
به عنوان یک مثال ساده ، فرض کنید ما باید مشتق گناه را پیدا کنیم (3x2 + x) به عنوان بخشی از مشکل مشتق تابع ضمنی بزرگتر برای معادله گناه (3x2 + x) + y3 = 0. اگر گناه را تصور کنیم (3x2 + x) به صورت f (x) و 3x2 + x به عنوان g (x) ، می توانیم مشتق را به صورت زیر بیابیم:
-
- f '(g (x)) g' (x)
- (گناه (3x2 + x)) '× (3x2 +x) '
- cos (3x2 + x) × (6x + 1)
- (6x + 1) cos (3x)2 +x)
-
مرحله 3. برای معادلات با متغیرهای x ، y و z ، (dz/dx) و (dz/dy) را پیدا کنید
اگرچه در محاسبات اولیه غیر معمول است ، اما برخی از برنامه های پیشرفته ممکن است به مشتق از توابع ضمنی بیش از دو متغیر نیاز داشته باشند. برای هر متغیر اضافی ، باید مشتق اضافی آن را نسبت به x پیدا کنید. به عنوان مثال ، اگر x ، y و z دارید ، باید هر دو (dz/dy) و (dz/dx) را جستجو کنید. ما می توانیم این کار را با دوبار استخراج معادله نسبت به x انجام دهیم - اول ، هر بار که یک عبارت حاوی z را بدست می آوریم (dz/dx) را وارد می کنیم و دوم ، هر بار که مشتق می شویم (dz/dy) را وارد می کنیم. z پس از این ، فقط مسئله حل (dz/dx) و (dz/dy) است.
- به عنوان مثال ، فرض کنید ما در حال تلاش برای استخراج x هستیم3z2 - 5xy5z = x2 + y3.
-
ابتدا بیایید در مقابل x مشتق شده و (dz/dx) را وارد کنیم. فراموش نکنید که در صورت نیاز قانون محصول را اعمال کنید!
-
- ایکس3z2 - 5xy5z = x2 + y3
- 3x2z2 + 2 برابر3z (dz/dx) - 5y5z - 5xy5(dz/dx) = 2x
- 3x2z2 + (2 برابر3z - 5xy5) (dz/dx) - 5y5z = 2x
- (2 برابر3z - 5xy5) (dz/dx) = 2x - 3x2z2 + 5 سال5z
- (dz/dx) = (2x - 3x2z2 + 5 سال5z)/(2 برابر3z - 5xy5)
-
-
حالا ، همین کار را برای (dz/dy) انجام دهید
-
- ایکس3z2 - 5xy5z = x2 + y3
- 2 برابر3z (dz/dy) - 25xy4z - 5xy5(dz/dy) = 3y2
- (2 برابر3z - 5xy5) (dz/dy) = 3y2 + 25xy4z
- (dz/dy) = (3y2 + 25xy4z)/(2 برابر3z - 5xy5)
-
