هر تابع دارای دو متغیر است ، یعنی متغیر مستقل و متغیر وابسته. به معنای واقعی کلمه ، متغیر وابسته به متغیر مستقل بستگی دارد. به عنوان مثال ، در تابع y = f (x) = 2 x + y ، x متغیر مستقل و y متغیر وابسته است (به عبارت دیگر ، y تابع x است). مقادیر معتبر برای متغیر x شناخته شده "دامنه مبدأ" نامیده می شود. مقادیر معتبر متغیر y "محدوده نتیجه" نامیده می شود.
گام
قسمت 1 از 3: پیدا کردن دامنه یک تابع
مرحله 1. تصمیم بگیرید که چه نوع عملکردی را قرار است انجام دهید
دامنه تابع همه مقادیر x (محور افقی) است که مقادیر y معتبر را برمی گرداند. معادله تابع ممکن است درجه دوم ، کسر یا حاوی ریشه باشد. برای محاسبه دامنه تابع ، اولین کاری که باید انجام دهید بررسی متغیرهای معادله است.
- یک تابع درجه دوم دارای ax است2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- نمونه هایی از توابع با کسر عبارتند از: f (x) = (1/ایکس) ، f (x) = (x+1)/(x - 1)، و دیگران.
- توابعی که ریشه دارند عبارتند از: f (x) = x ، f (x) = (x)2 + 1) ، f (x) = -x و غیره
مرحله 2. دامنه را با نماد مناسب بنویسید
نوشتن دامنه یک تابع شامل استفاده از براکت مربع [،] و همچنین براکت (،) است. اگر شماره متعلق به دامنه است ، از براکت مربع [،] استفاده کنید و اگر دامنه شماره را شامل نمی شود ، از براکت () استفاده کنید. حرف U نشان دهنده اتحادی است که قسمت هایی از دامنه را که ممکن است با فاصله از هم جدا شوند به هم متصل می کند.
- به عنوان مثال ، دامنه [-2 ، 10) U (10 ، 2] شامل -2 و 2 است ، اما عدد 10 را شامل نمی شود.
- اگر از نماد بی نهایت استفاده می کنید ، همیشه از پرانتز () استفاده کنید.
مرحله 3. نمودار معادله درجه دوم را رسم کنید
معادلات درجه دوم یک نمودار سهمی تولید می کند که به بالا یا پایین باز می شود. با توجه به این که این سهمی بی نهایت در محور x ادامه خواهد داد ، دامنه اکثر معادلات درجه دوم همه اعداد حقیقی است. به عبارت دیگر ، یک معادله درجه دوم شامل تمام مقادیر x در خط عددی است که دامنه را می دهد R (نماد همه اعداد واقعی).
- برای حل تابع ، هر مقدار x را انتخاب کرده و آن را در تابع وارد کنید. حل یک تابع با مقدار x مقدار y را برمی گرداند. مقادیر x و y مختصات (x ، y) یک نمودار از تابع هستند.
- این مختصات را روی یک نمودار رسم کرده و فرآیند را با مقدار x دیگر تکرار کنید.
- رسم برخی از مقادیر در این مدل نمای کلی از شکل تابع درجه دو را در اختیار شما قرار می دهد.
مرحله 4. اگر معادله تابع کسری باشد ، مخرج را برابر صفر کنید
هنگام کار با کسر ، هرگز نمی توانید بر صفر تقسیم کنید. با قرار دادن مخرج برابر صفر و یافتن مقدار x ، می توانید مقادیر استخراج شده از تابع را محاسبه کنید.
- به عنوان مثال: دامنه تابع f (x) = را تعیین کنید (x+1)/(x - 1).
- مخرج تابع (x - 1) است.
- مخرج را برابر صفر کرده و مقدار x را محاسبه می کنیم: x - 1 = 0 ، x = 1.
- دامنه را بنویسید: دامنه تابع شامل 1 نیست ، اما شامل تمام اعداد واقعی به جز 1 است. بنابراین ، دامنه (-∞ ، 1) U (1 ،) است.
- (-∞ ، 1) U (1 ،) را می توان به عنوان مجموعه ای از همه اعداد واقعی به جز 1 خواند. نماد بی نهایت ، نشان دهنده همه اعداد واقعی است. در این حالت ، همه اعداد واقعی بزرگتر از 1 و کمتر از 1 در دامنه گنجانده شده است.
مرحله 5. اگر معادله یک تابع ریشه است ، متغیرهای ریشه را بزرگتر یا مساوی صفر کنید
شما نمی توانید از ریشه مربع یک عدد منفی استفاده کنید. بنابراین ، هر مقدار x که منجر به یک عدد منفی می شود باید از دامنه تابع حذف شود.
- به عنوان مثال: دامنه تابع f (x) = (x + 3) را بیابید.
- متغیرهای موجود در ریشه (x + 3) هستند.
- مقدار را بزرگتر یا مساوی صفر کنید: (x + 3) 0.
- مقدار x: x -3 را محاسبه کنید. برای x: x -3 حل کنید.
- دامنه تابع شامل همه اعداد واقعی بزرگتر یا مساوی -3 است. بنابراین ، دامنه [-3 ،] است.
قسمت 2 از 3: یافتن محدوده یک معادله درجه دوم
مرحله 1. مطمئن شوید که یک تابع درجه دوم دارید
تابع درجه دوم دارای ax است2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. نمودار تابع درجه یک سهمی است که به بالا یا پایین باز می شود. بسته به نوع تابعی که روی آن کار می کنید ، روش های مختلفی برای محاسبه محدوده تابع وجود دارد.
ساده ترین راه برای تعیین محدوده توابع دیگر ، مانند یک تابع ریشه یا یک تابع کسری ، این است که با استفاده از یک ماشین حساب نمودار ، تابع را نمودار کنید
مرحله 2. مقدار x راس تابع را بیابید
راس یک تابع درجه دوم راس سهمی است. به یاد داشته باشید ، شکل تابع درجه دوم ax است2 + bx + c برای پیدا کردن مختصات x از رابطه x = -b/2a استفاده کنید. این معادله مشتق شده از یک تابع درجه دوم اساسی است که یک معادله با شیب/شیب صفر را نشان می دهد (در راس نمودار ، گرادیان تابع صفر است).
- به عنوان مثال ، محدوده 3x را پیدا کنید2 + 6x -2.
- محاسبه مختصات x راس: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
مرحله 3. مقدار y راس تابع را محاسبه کنید
مختصات x را به تابع وصل کنید تا مقدار y مربوط به راس را محاسبه کنید. این مقدار y محدوده محدوده تابع را نشان می دهد.
- مختصات y را محاسبه کنید: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- راس این تابع (-1 ، -5) است.
مرحله 4. جهت Parabola را با اتصال حداقل یک مقدار x دیگر تعیین کنید
هر مقدار x دیگر را انتخاب کرده و آن را به تابع وصل کنید تا مقدار y مناسب محاسبه شود. اگر مقدار y بالای راس باشد ، سهمی به +continues ادامه می دهد. اگر مقدار y زیر راس باشد ، مثلث به -∞ ادامه می یابد.
- از x -value -2: y = 3x استفاده کنید2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- این محاسبه مختصات (-2 ، -2) را برمی گرداند.
- این مختصات به شما نشان می دهد که سهمی در بالای رأس (-1 ، -5) ادامه دارد. بنابراین ، محدوده شامل همه مقادیر y بالاتر از -5 است.
- محدوده این تابع [-5 ،] است.
مرحله 5. محدوده را با نماد مناسب بنویسید
مانند دامنه ها ، محدوده ها با یک علامت یکسان نوشته می شوند. اگر عدد در محدوده است از براکت مربع [،] استفاده کنید و اگر محدوده عدد را شامل نمی شود از براکت (،) استفاده کنید. حرف U نشان دهنده اتحادی است که قسمت هایی از محدوده را که ممکن است با فاصله از هم جدا شوند ، به هم متصل می کند.
- به عنوان مثال ، محدوده [-2 ، 10) U (10 ، 2] شامل -2 و 2 است ، اما عدد 10 را شامل نمی شود.
- اگر از نماد بی نهایت استفاده می کنید ، همیشه از پرانتز استفاده کنید.
قسمت 3 از 3: یافتن محدوده از نمودار یک تابع
مرحله 1. تابع را رسم کنید
اغلب ، ساده ترین راه برای تعیین محدوده یک تابع ، نمودار آن است. بسیاری از توابع ریشه دارای محدوده (-∞ ، 0] یا [0 ، +∞) هستند زیرا راس پارابولا افقی (سهمی جانبی) در محور x افقی قرار دارد. در این حالت ، تابع شامل همه مقادیر مثبت y در صورت باز شدن سهمی ، یا همه مقادیر منفی y در صورت باز شدن سهمی به سمت پایین می شود. توابع کسری دارای مجانبی هستند (خطوطی که هرگز با یک خط مستقیم / منحنی بریده نمی شوند اما به بی نهایت نزدیک می شوند) که محدوده تابع را مشخص می کنند.
- برخی از توابع ریشه در بالا یا زیر محور x شروع می شوند. در این مورد ، محدوده با عددی که عملکرد ریشه در آن شروع می شود تعیین می شود. اگر این سهمی از y = -4 شروع شده و بالا برود ، محدوده [-4 ، +∞) است.
- ساده ترین راه برای ترسیم یک تابع استفاده از یک برنامه نمودار یا ماشین حساب نمودار است.
- اگر ماشین حساب نمودار ندارید ، می توانید با وارد کردن مقدار x در تابع و بدست آوردن مقدار y مناسب ، یک طرح کلی از نمودار رسم کنید. این مختصات را بر روی نمودار رسم کنید تا تصویری از نمودار به دست آورید.
مرحله 2. حداقل مقدار تابع را بیابید
بلافاصله پس از رسم تابع ، باید بتوانید پایین ترین نقطه نمودار را به وضوح مشاهده کنید. اگر حداقل مقدار مشخصی وجود ندارد ، بدانید که برخی از توابع در -∞ (بی نهایت) ادامه خواهند داشت.
تابع کسری شامل تمام نقاط بجز نقاطی که در مجانب وجود ندارد ، خواهد بود. این تابع دارای طیفی مانند (-∞ ، 6) U (6 ،) است
مرحله 3. حداکثر مقدار تابع را تعیین کنید
دوباره ، پس از رسم نمودار ، باید بتوانید حداکثر نقطه تابع را مشخص کنید. برخی از توابع در +continue ادامه خواهند یافت و بنابراین ، حداقل مقدار را ندارند.
مرحله 4. محدوده را با نماد مناسب بنویسید
مانند دامنه ها ، محدوده ها با یک علامت یکسان نوشته می شوند. اگر عدد در محدوده است از براکت مربع [،] استفاده کنید و اگر محدوده عدد را شامل نمی شود از براکت (،) استفاده کنید. حرف U نشان دهنده اتحادی است که قسمت هایی از محدوده را که ممکن است با فاصله از هم جدا شوند ، به هم متصل می کند.
- به عنوان مثال ، محدوده [-2 ، 10) U (10 ، 2] شامل -2 و 2 است ، اما عدد 10 را شامل نمی شود.
- اگر از نماد بی نهایت استفاده می کنید ، همیشه از پرانتز استفاده کنید.
