3 راه برای ساده سازی عبارات جبری

2024 نویسنده: Jason Gerald | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-15 08:13

یادگیری نحوه ساده سازی عبارات جبری یکی از کلیدهای تسلط بر جبر اساسی و مفیدترین ابزاری است که هر ریاضی دان باید داشته باشد. ساده سازی به ریاضیدانان اجازه می دهد تا عبارات پیچیده ، طولانی و/یا فرد را به عبارات معادل ساده تر یا آسان تر تبدیل کنند. یادگیری مهارت های ساده ساده - حتی برای کسانی که از ریاضی متنفرند. با رعایت چند مرحله ساده ، می توان بسیاری از انواع رایج ترین عبارات جبری را بدون استفاده از دانش خاصی در ریاضیات ساده کرد. برای شروع مرحله 1 را بررسی کنید!

گام

درک مفاهیم مهم

مرحله 1. اصطلاحات را با توجه به متغیرها و قدرت آنها گروه بندی کنید

در جبر ، اصطلاحات دارای پیکربندی متغیر یکسانی با قدرت یکسان هستند. به عبارت دیگر ، برای اینکه دو عبارت برابر باشند ، باید متغیر یکسانی داشته باشند یا اصلاً متغیری نداشته باشند و هر متغیر قدرت یکسانی داشته باشد ، یا نمایی نداشته باشد. ترتیب متغیرها از نظر مهم نیست.

به عنوان مثال ، 3x² و 4 برابر² مانند اصطلاحات هستند زیرا هر دو متغیر x با قدرت مربع دارند. با این حال ، x و x² مانند اصطلاحات نیستند زیرا هر عبارت دارای متغیر x با قدرت متفاوت است. تقریباً یکسان ، -3yx و 5xz اصطلاحات مشابهی نیستند زیرا هر عبارت متغیر متفاوتی دارد.

مرحله 2. عدد را بنویسید که حاصلضرب دو عامل است

فاکتورینگ مفهوم نوشتن یک عدد معین به عنوان حاصلضرب دو عامل است. اعداد می توانند بیش از یک مجموعه عوامل داشته باشند - برای مثال ، 12 را می توان از 1 × 12 ، 2 × 6 و 3 × 4 بدست آورد ، بنابراین می توان گفت که 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 و 12 عوامل هستند از 12 روش دیگر تصور این است که عوامل یک عدد اعدادی هستند که عدد را تقسیم می کنند.

• به عنوان مثال ، اگر بخواهیم فاکتور 20 را بنویسیم ، می توانیم آن را به صورت زیر بنویسیم 4 × 5.
• توجه داشته باشید که شرایط متغیر را نیز می توان در نظر گرفت. -20x ، برای مثال ، می تواند به صورت نوشته شود 4 (5 برابر).
• اعداد اول را نمی توان در نظر گرفت زیرا آنها فقط می توانند بر خود و 1 تقسیم شوند.

مرحله 3. برای به خاطر سپردن ترتیب عملیات از مخفف KaPaK BoTaK استفاده کنید

گاهی اوقات ، ساده کردن یک عبارت به سادگی عمل در معادله را حل می کند تا زمانی که دیگر قابل اجرا نباشد. در این موارد ، بسیار مهم است که ترتیب عملیات را به خاطر بسپارید تا خطای حساب رخ ندهد. مخفف KaPaK BoTaK به شما کمک می کند تا ترتیب عملیات را به خاطر بسپارید - حروف انواع عملیاتی را که باید انجام دهید ، به ترتیب نشان می دهد:

• ک مردود شدن
• پ بلند کردن
• ک علی
• ب از نو
• تی اضافه کردن
• ک میگو

روش 1 از 3: ادغام شرایط مشابه

مرحله 1. معادله خود را بنویسید

ساده ترین معادلات جبری ، که شامل چند عبارت متغیر با ضرایب صحیح و بدون کسر ، ریشه و غیره است ، اغلب می تواند تنها در چند مرحله حل شود. برای اکثر مسائل ریاضی ، اولین قدم برای ساده سازی معادله ، نوشتن آن است!

به عنوان مثال مشکل ، در چند مرحله بعدی ، از عبارت استفاده می کنیم 1 + 2x - 3 + 4x.

مرحله 2. قبایل مشابه را شناسایی کنید

بعد ، در معادله خود به دنبال عبارات مشابه باشید. به یاد داشته باشید که اصطلاحات مشابه متغیر و توان یکسانی دارند.

به عنوان مثال ، بیایید اصطلاحات مشابه را در معادله خود 1 + 2x - 3 + 4x تشخیص دهیم. 2x و 4x هر دو متغیر یکسانی با قدرت یکسان دارند (در این مورد ، x هیچ نمایی ندارد). همچنین 1 و -3 مانند اصطلاحات هستند زیرا هیچ متغیری ندارند. بنابراین در معادله ما ، 2x و 4x و 1 و -3 قبایل مشابهی هستند

مرحله 3. اصطلاحات مشابه را ترکیب کنید

اکنون که اصطلاحات مشابهی را شناسایی کرده اید ، می توانید آنها را برای ساده سازی معادله خود ترکیب کنید. برای کاهش مجموعه اصطلاحات با متغیر یکسان و ضربدر یک عبارت مساوی ، عبارات را اضافه کنید (یا در صورت عبارات منفی تفریق کنید).

• بیایید اصطلاحات مشابه را در مثال خود اضافه کنیم.

  • 2x + 4x = 6 برابر
  • 1 + -3 = - 2

مرحله 4. معادله ساده تری از عبارتهای ساده شده ایجاد کنید

پس از ترکیب اصطلاحات مشابه خود ، معادله ای از مجموعه اصطلاحات جدید و کوچکتر ایجاد کنید. شما یک معادله ساده تر دریافت خواهید کرد که دارای یک عبارت برای مجموعه های مختلف متغیرها و قدرتها در معادله اصلی است. این معادله جدید معادل معادله اصلی است.

در مثال ما ، شرایط ساده شده ما 6x و -2 است ، بنابراین معادله جدید ما این است 6x - 2 به این معادله ساده معادل اصل (1 + 2x - 3 + 4x) است ، اما کوتاهتر و راحت تر کار می شود. همچنین ساده تر است که آن را در زیر بررسی کنیم ، که یکی دیگر از مهارتهای مهم ساده سازی است.

مرحله 5. هنگام ترکیب اصطلاحات مشابه ، ترتیب عملیات را دنبال کنید

در معادلات بسیار ساده مانند آنچه در مثال بالا در مورد آن کار کردیم ، تشخیص اصطلاحات ساده آسان است. با این حال ، در معادلات پیچیده تر ، مانند عباراتی که شامل واژه ها ، کسرها و ریشه های پرانتز هستند ، مانند عباراتی که می توانند ترکیب شوند ممکن است به وضوح قابل مشاهده نباشند. در این موارد ، ترتیب عملیات را دنبال کنید ، در صورت نیاز عملیات را بر اساس شرایط بیان خود انجام دهید تا عملیات جمع و تفریق باقی بماند.

• به عنوان مثال ، اجازه دهید از معادله 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x استفاده کنیم. اشتباه نیست اگر بلافاصله 3x و 2x را اصطلاحات مشابهی در نظر بگیریم و آنها را ترکیب کنیم زیرا پرانتز در عبارت نشان می دهد که ابتدا باید عملیات دیگری را انجام دهیم. اول ، ما عملیات حسابی را بر روی عبارت به ترتیب عملیات انجام می دهیم تا عباراتی را که می توانیم استفاده کنیم بدست آوریم. موارد زیر را مشاهده کنید:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x اکنون ، از آنجا که تنها عملیات باقی مانده جمع و تفریق است ، می توانیم عبارات مشابه را با هم ترکیب کنیم.
  • ایکس² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • ایکس² + 12x + 3

روش 2 از 3: فاکتورگیری

مرحله 1. بزرگترین عامل مشترک در عبارت را مشخص کنید

فاکتورگیری روشی برای ساده سازی عبارت با حذف عواملی است که در اصطلاحات مشابه در عبارت یکسان هستند. برای شروع ، بزرگترین عامل مشترکی را که همه اصطلاحات دارند پیدا کنید - به عبارت دیگر ، بزرگترین عددی که همه اصطلاحات کل عبارت را تقسیم می کند.

• بیایید از معادله 9x استفاده کنیم² + 27x - 3. توجه داشته باشید که هر عبارت در این معادله بر 3 بخش پذیر است.

  مرحله 3 بزرگترین عامل مشترک ما است

مرحله 2. اصطلاحات موجود در عبارت را بر بزرگترین عامل مشترک تقسیم کنید

در مرحله بعد ، هر عبارت در معادله خود را بر بزرگترین عامل مشترکی که به تازگی پیدا کرده اید تقسیم کنید. ضرایب ضریب ضریب کوچکتری نسبت به معادله اصلی خواهند داشت.

• بیایید معادله خود را بر اساس بزرگترین عامل مشترک آن ، 3 تعیین کنیم. برای انجام این کار ، هر عبارت را بر 3 تقسیم می کنیم.

  • 9 برابر²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • بنابراین ، عبارت جدید ما این است 3x² + 9x - 1.

مرحله 3. عبارت خود را به عنوان حاصلضرب بزرگترین عامل مشترک ضرب در عبارات باقی مانده بنویسید

عبارت جدید شما معادل عبارت اصلی شما نیست ، بنابراین نادرست است که بگویید این عبارت ساده شده است. برای اینکه عبارت جدید ما برابر اصل شود ، باید این حقیقت را در نظر بگیریم که عبارت ما با بزرگترین عامل مشترک تقسیم شده است. عبارت جدید خود را داخل پرانتز قرار دهید و بزرگترین عامل مشترک معادله اصلی را به عنوان ضریب بیان در پرانتز بنویسید.

برای معادله مثال ما ، 3x² + 9x - 1 ، می توانیم عبارت را در پرانتز قرار دهیم و آن را در بزرگترین عامل مشترک معادله اصلی ضرب کنیم 3 (3x² + 9x - 1) به این معادله معادل معادله اصلی 9x است² +27x - 3

مرحله 4. برای ساده سازی کسرها از فاکتورگیری استفاده کنید

شاید اکنون برایتان سال باشد که چرا از فاکتورگیری استفاده می شود ، اگر حتی پس از حذف بزرگترین عامل مشترک ، عبارت جدید باید دوباره در آن عامل ضرب شود. در واقع ، فاکتورگیری به ریاضیدانان اجازه می دهد تا ترفندهای مختلفی را برای ساده سازی عبارات انجام دهند. یکی از ساده ترین ترفندهای او از این واقعیت استفاده می کند که ضرب شمارنده و مخرج کسری در همان تعداد می تواند کسری معادل تولید کند. موارد زیر را مشاهده کنید:

• مثال مثال اولیه ما ، 9x را بیان کنید² + 27x - 3 ، مقدار کسر بزرگتر است که 3 را به عنوان عدد شمارش می کند. کسر به شکل زیر خواهد بود: (9x² + 27x - 3)/3. ما می توانیم از فاکتورینگ برای ساده سازی کسرها استفاده کنیم.

  • بیایید شکل فاکتورینگ عبارت اصلی خود را جایگزین عبارت در شمارنده کنیم: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • توجه داشته باشید که در حال حاضر ، هم شمارنده و هم مخرج دارای ضریب 3 هستند. با تقسیم عدد مخرج و مخرج بر 3 ، بدست می آوریم: (3x² + 9x - 1)/1.
  • از آنجا که هر کسری با مخرج 1 معادل عبارات در شمارنده است ، می توان گفت کسر اولیه ما را می توان به 3x² + 9x - 1.

روش 3 از 3: استفاده از مهارتهای ساده سازی اضافی

مرحله 1. کسرها را با تقسیم بر عوامل یکسان ساده کنید

همانطور که در بالا ذکر شد ، اگر شمارنده و مخرج معادله دارای عوامل یکسانی باشند ، می توان این عوامل را در کسر به طور کامل حذف کرد. گاهی اوقات ، نیاز به در نظر گرفتن عدد ، مخرج یا هر دو دارد (همانطور که در مثال مثال بالا چنین است) در حالی که گاهی اوقات عوامل یکسان اغلب آشکار هستند. توجه داشته باشید که برای بدست آوردن یک عبارت ساده نیز می توان شرایط یکسره را بر معادله مخرج تقسیم کرد.

• بیایید روی مثالی کار کنیم که نیازی به بررسی ندارد. برای کسرها (5 برابر² + 10x + 20)/10 ، برای ساده سازی می توانیم هر عبارت را در عدد تقسیم بر 10 کنیم ، حتی اگر ضریب 5 در 5x باشد² بیشتر از 10 نیست و بنابراین 10 یک عامل نیست.

  اگر این کار را انجام دهیم ، ((5x²)/10) + x + 2. در صورت تمایل ، می توانیم عبارت اول را به صورت (1/2) x بازنویسی کنیم² بنابراین (1/2) x دریافت می کنیم² +x+2.

مرحله 2. از عوامل مربعی برای ساده سازی ریشه ها استفاده کنید

عبارت زیر علامت ریشه عبارت ریشه نامیده می شود. این عبارت را می توان با شناسایی عوامل مربعی (عواملی که مربع اعداد صحیح هستند) و انجام عملیات ریشه مربع جداگانه برای حذف آنها از زیر علامت ریشه مربع ساده کرد.

• بیایید یک مثال ساده انجام دهیم - (90). اگر 90 را حاصل دو عامل 9 و 10 بدانیم ، می توانیم ریشه مربعی 9 را که عدد صحیح 3 است گرفته و آن را از علامت رادیکال حذف کنیم. به عبارت دیگر:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

مرحله 3. هنگام ضرب دو توان ، ضرب کننده ها را اضافه کنید. هنگام تقسیم کم کنید

برخی از عبارات جبری نیاز به ضرب یا تقسیم عبارات قدرت دارند. به جای محاسبه یا تقسیم هر نمایی به صورت دستی ، فقط ضرب ها را در هنگام ضرب و در زمان تقسیم کم کنید تا در وقت صرفه جویی شود. این مفهوم همچنین می تواند برای ساده سازی عبارات متغیر استفاده شود.

• برای مثال ، بیایید از عبارت 6x استفاده کنیم³ x 8 برابر⁴ + (x¹⁷/ایکس¹⁵) در هر صورت که ضرب یا تقسیم نماها مورد نیاز است ، ما به ترتیب نماها را کم یا اضافه می کنیم تا سریع این عبارت ساده را بیابیم. موارد زیر را مشاهده کنید:

  • 6 برابر³ x 8 برابر⁴ + (x¹⁷/ایکس¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48 برابر⁷ +x²

• برای توضیح نحوه کار ، به زیر مراجعه کنید:

  • ضرب اصطلاحات در نماها در واقع مانند ضرب اصطلاحات در نمادهای بلند است. به عنوان مثال ، زیرا x³ = x × x × x و x ⁵ = x × x × x × x × x ، x³ x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) ، یا x⁸.
  • تقريباً يكسان ، تقسيم نمايه ها مانند تقسيم بندهاست ، نه نمايان بلند. ایکس⁵/ایکس³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). از آنجایی که هر عبارت در شمارنده را می توان با یافتن یک عبارت در مخرج خط کشی کرد ، فقط دو x در عدد باقی مانده است و چیزی در پایین باقی نمانده است ، که جواب x را می دهد.².

نکات

• همیشه به یاد داشته باشید که باید این اعداد را دارای علائم مثبت و منفی تصور کنید. بسیاری از مردم به این فکر نمی کنند که چه علامتی باید اینجا بگذارم؟
• اگر به کمک احتیاج داشتی بگو!
• ساده کردن عبارات جبری آسان نیست ، اما وقتی آن را درک کردید ، آن را برای بقیه عمر خود استفاده خواهید کرد.

هشدار

• همیشه به دنبال قبایل مشابه باشید و فریب رتبه را نخورید.
• اطمینان حاصل کنید که اعداد ، قدرتها یا عملیاتهایی را که نباید سهوا باشد اضافه نمی کنید.