فرم ریشه یک عبارت جبری است که دارای نشانه ریشه مربع (یا ریشه مکعب یا بالاتر) است. این فرم اغلب می تواند دو عدد را نشان دهد که دارای ارزش یکسانی هستند حتی اگر در نگاه اول متفاوت به نظر برسند (به عنوان مثال ، 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). بنابراین ، ما برای این نوع فرم ها به "فرمول استاندارد" نیاز داریم. اگر دو عبارت ، هر دو در فرمول استاندارد ، وجود داشته باشند که متفاوت به نظر برسند ، یکسان نیستند. ریاضیدانان موافقند که فرمول استاندارد فرم درجه دوم شرایط زیر را برآورده می کند:
- از استفاده از کسرها خودداری کنید
- از قدرت های کسری استفاده نکنید
- از به کار بردن ریشه در مخرج خودداری کنید
- شامل ضرب دو شکل ریشه نیست
- اعداد زیر ریشه دیگر نمی توانند ریشه دار شوند
یکی از کاربردهای آن در امتحانات چند گزینه ای است. وقتی پاسخی پیدا کردید ، اما پاسخ شما با گزینه های موجود یکسان نبود ، سعی کنید آن را در فرمول استاندارد ساده کنید. از آنجا که پرسشگران معمولاً پاسخ ها را با فرمول های استاندارد می نویسند ، همین کار را با پاسخ های خود انجام دهید تا با پاسخ آنها مطابقت داشته باشد. در س questionsالات مقاله ، دستوراتی مانند "پاسخ خود را ساده کنید" یا "همه ریشه ها را ساده کنید" به این معنی است که دانش آموزان باید مراحل زیر را انجام دهند تا فرمول استاندارد بالا را برآورده کنند. این مرحله همچنین می تواند برای حل معادلات استفاده شود ، اگرچه حل برخی از انواع معادلات در فرمول های غیر استاندارد آسان تر است.
گام
مرحله 1. در صورت لزوم ، قوانین مربوط به ریشه ها و نماها را بررسی کنید (هر دو برابر هستند - ریشه ها قدرت کسرها هستند) زیرا در این فرایند به آنها نیاز داریم
همچنین قوانین ساده سازی چند جمله ای ها و اشکال منطقی را مرور کنید زیرا ما باید آنها را ساده کنیم.
روش 1 از 6: مربع کامل
مرحله 1. تمام ریشه های حاوی مربع کامل را ساده کنید
یک مربع کامل حاصل خود یک عدد است ، برای مثال 81 ، که حاصلضرب 9 در 9 است. برای ساده سازی یک مربع کامل ، کافی است ریشه مربع را بردارید و ریشه مربع عدد را بنویسید.
- به عنوان مثال ، 121 یک مربع کامل است زیرا 11 11 11 برابر 121. بنابراین ، با حذف علامت ریشه می توانید ریشه (121) را به 11 ساده کنید.
- برای سهولت این مرحله ، باید دوازده مربع کامل اول را به خاطر بسپارید: 1 x 1 = 1 ، 2 x 2 = 4 ، 3 x 3 = 9 ، 4 x 4 = 16 ، 5 x 5 = 25 ، 6 x 6 = 36 ، 7 7 7 = 49 ، 8 8 8 = 64 ، 9 9 9 = 81 ، 10 10 10 = 100، 11 11 11 = 121 ، 12 12 12 = 144
مرحله 2. تمام ریشه های حاوی مکعب های کامل را ساده کنید
مکعب کامل حاصل ضرب دو عدد به خودی خود است ، برای مثال 27 ، که حاصلضرب 3 3 3 3. 3 است. برای ساده شدن شکل ریشه مکعب کامل ، کافی است ریشه مربع را بردارید و ریشه مربع را بنویسید از تعداد
به عنوان مثال ، 343 یک مکعب کامل است زیرا حاصل 7 7 7 7. 7 است. بنابراین ریشه مکعب 343 7 است
روش 2 از 6: تبدیل کسر به ریشه
یا برعکس را تغییر دهید (گاهی اوقات کمک می کند) ، اما آنها را در همان عبارت root (5) + 5^(3/2) مخلوط نکنید. فرض می کنیم که می خواهید از فرم ریشه استفاده کنید و از نمادهای root (n) برای ریشه مربع و sqrt^3 (n) برای ریشه مکعب استفاده می کنیم.
مرحله 1. یکی را به توان کسر ببرید و آن را به شکل ریشه تبدیل کنید ، برای مثال x^(a/b) = ریشه به قدرت b x^a
اگر ریشه مربع به صورت کسری است ، آن را به شکل معمولی تبدیل کنید. به عنوان مثال ، ریشه مربع (2/3) 4 = ریشه (4)^3 = 2^3 = 8
مرحله 2. نمادهای منفی را به کسرها تبدیل کنید ، برای مثال x^-y = 1/x^y
این فرمول فقط برای نمادهای ثابت و منطقی کاربرد دارد. اگر با شکلی مانند 2^x سروکار دارید ، آن را تغییر ندهید ، حتی اگر مشکل نشان دهد که x می تواند کسر یا عدد منفی باشد
مرحله 3 ادغام همان قبیله و شکل منطقی حاصله را ساده کنید.
روش 3 از 6: حذف کسری در ریشه
فرمول استاندارد ایجاب می کند که ریشه یک عدد صحیح باشد.
مرحله 1. اگر عدد زیر ریشه مربع است ، اگر هنوز کسری دارد
اگر هنوز ،…
مرحله 2. با استفاده از ریشه هویت (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b) به کسری متشکل از دو ریشه تغییر دهید
اگر مخرج منفی است یا متغیری است که ممکن است منفی باشد ، از این هویت استفاده نکنید. در این حالت ، ابتدا کسر را ساده کنید
مرحله 3. هر مربع کامل از نتیجه را ساده کنید
یعنی sqrt (5/4) را به sqrt (5)/sqrt (4) تبدیل کنید ، سپس به sqrt (5)/2 ساده کنید.
مرحله 4. از روشهای ساده سازی دیگر مانند ساده سازی کسرهای پیچیده ، ترکیب اصطلاحات مساوی و غیره استفاده کنید
روش 4 از 6: ترکیب ریشه های ضرب
مرحله 1. اگر یک فرم ریشه را در دیگری ضرب می کنید ، این دو را در یک ریشه مربعی با استفاده از فرمول ترکیب کنید:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab) به عنوان مثال ، ریشه (2)*ریشه (6) را به ریشه (12) تغییر دهید.
- هویت بالا ، sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab) ، در صورتی معتبر است که عدد زیر علامت sqrt منفی نباشد. وقتی a و b منفی هستند از این فرمول استفاده نکنید زیرا اشتباه می کنید که sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1) را ایجاد کنید. عبارت سمت چپ برابر -1 است (یا در صورت عدم استفاده از اعداد مختلط تعریف نشده) در حالی که عبارت سمت راست 1+ است. اگر a و/یا b منفی هستند ، ابتدا علامت را مانند sqrt (-5) = i*sqrt (5) "تغییر" دهید. اگر فرم زیر علامت ریشه متغیری است که علامت آن از متن ناشناخته است یا می تواند مثبت یا منفی باشد ، فعلاً آن را همانطور که هست بگذارید. می توانید از هویت کلی تری استفاده کنید ، sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |) که برای همه اعداد واقعی a و b صدق می کند ، اما معمولاً این فرمول کمک چندانی نمی کند زیرا به عملکرد sgn (signum) پیچیدگی می افزاید.
- این هویت تنها در صورتی معتبر است که اشکال ریشه ها دارای نمای یکسانی باشند. شما می توانید ریشه های مربعی مختلف مانند sqrt (5)*sqrt^3 (7) را با تبدیل آنها به یک ریشه مربعی ضرب کنید. برای انجام این کار ، به طور موقت ریشه مربع را به کسری تبدیل کنید: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6) سپس از قانون ضرب برای ضرب این دو در ریشه مربع 6125 استفاده کنید.
روش 5 از 6: حذف عامل مربع از ریشه
مرحله 1. ریشه های ناقص را در عوامل اصلی در نظر بگیرید
یک عامل عددی است که در ضرب در یک عدد دیگر یک عدد را تشکیل می دهد - به عنوان مثال ، 5 و 4 دو عامل 20 هستند. برای شکستن ریشه های ناقص ، همه عوامل عدد را (یا تا آنجا که ممکن است ، در صورت امکان بنویسید) عدد خیلی بزرگ است) تا زمانی که یک مربع کامل پیدا نکنید.
به عنوان مثال ، سعی کنید همه عوامل 45: 1 ، 3 ، 5 ، 9 ، 15 و 45 را پیدا کنید. 9 یک عامل 45 است و همچنین یک مربع کامل است (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
مرحله 2. همه ضرب کننده هایی که مربع کامل هستند را از داخل ریشه مربع بردارید
9 یک مربع کامل است زیرا حاصل 3 3. 3 است. 9 را از ریشه مربع خارج کرده و 3 را در مقابل ریشه مربع جایگزین کنید و 5 را در ریشه مربع بگذارید. اگر 3 را مجدداً در ریشه مربع قرار داده اید ، در خود ضرب کنید تا 9 شود ، و اگر در 5 ضرب کنید 45 می شود. 3 ریشه از 5 یک راه ساده برای بیان ریشه 45 است.
یعنی sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
مرحله 3. مربع کامل را در متغیر بیابید
ریشه مربع مربع | a | است به اگر متغیر شناخته شده مثبت باشد ، می توانید آن را فقط به "a" ساده کنید. ریشه مربع a به توان 3 در صورت تجزیه به ریشه مربع در یک مربع a - به یاد داشته باشید که وقتی ما دو عدد را به توان a ضرب می کنیم ، نماها جمع می شوند ، بنابراین یک مربع برابر a برابر است با a قدرت سوم
بنابراین ، یک مربع کامل به شکل مکعب مربع است
مرحله 4. متغیر حاوی مربع کامل را از ریشه مربع حذف کنید
حالا ، یک مربع از ریشه مربع بردارید و آن را به | a | تغییر دهید به شکل ساده ریشه a به توان 3 | a | است ریشه a
مرحله 5. شرایط مساوی را ترکیب کرده و همه ریشه های نتایج محاسبه را ساده کنید
روش 6 از 6: منطقی کردن مخرج
مرحله 1. فرمول استاندارد مستلزم این است که مخرج تا آنجا که ممکن است یک عدد صحیح (یا چند جمله ای) باشد
-
اگر مخرج شامل یک عبارت در زیر علامت ریشه است ، مانند […]/ریشه (5) ، سپس عدد و مخرج را در آن ریشه ضرب کنید تا […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = […]*ریشه (5)/5.
برای ریشه های مکعب یا بالاتر ، در ریشه مناسب ضرب کنید تا مخرج منطقی باشد. اگر مخرج ریشه^3 (5) است ، شمارنده و مخرج را در sqrt^3 (5)^2 ضرب کنید
-
اگر مخرج شامل افزودن یا تفریق دو ریشه مربعی مانند sqrt (2) + sqrt (6) باشد ، مقدار و مخرج را در مزدوج آنها ضرب کنید ، که همان شکل است اما با علامت مخالف. سپس […]/(ریشه (2) + ریشه (6)) = […] (ریشه (2) -ریشه (6))/(ریشه (2) + ریشه (6)) (ریشه (2) -ریشه (6)). سپس از فرمول هویت برای تفاوت دو مربع [(a + b) (ab) = a^2-b^2] برای منطقی کردن مخرج ، برای ساده سازی (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- این امر در مورد مخرج هایی مانند 5 + sqrt (3) نیز صدق می کند زیرا همه اعداد صحیح ریشه اعداد صحیح دیگر هستند. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- این روش برای افزودن ریشه هایی مانند sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7) نیز کاربرد دارد. اگر آنها را در (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) گروه بندی کرده و در (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7) ضرب کنید ، پاسخ به صورت منطقی نیست ، بلکه هنوز در ریشه+b*(30) است که a و b از قبل اعداد منطقی هستند. سپس این روند را با ترکیبات a+b*sqrt (30) و (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) منطقی خواهد بود ، تکرار کنید. در اصل ، اگر می توانید از این ترفند برای حذف یک نشانه ریشه در مخرج استفاده کنید ، می توانید آن را بارها تکرار کنید تا تمام ریشه ها حذف شوند.
- این روش همچنین می تواند برای مخرج هایی که دارای ریشه بالاتری هستند استفاده شود ، مانند ریشه چهارم 3 یا ریشه هفتم 9. عدد مخرج و مخرج را در مخرج مخرج ضرب کنید. متأسفانه ، ما نمی توانیم مستقیماً مخرج مخرج را بدست آوریم و انجام این کار دشوار است. ما می توانیم پاسخ را در کتاب جبر در مورد نظریه اعداد بیابیم ، اما من در این مورد وارد نمی شوم.
مرحله 2. در حال حاضر مخرج به شکل منطقی است ، اما متر به نظر می رسد آشفته است
اکنون تنها کاری که باید انجام دهید این است که آن را در مخرج مخرج ضرب کنید. جلو بروید و همانطور که چند جمله ای را ضرب می کنیم ضرب کنید. بررسی کنید که آیا در صورت امکان عبارات را می توان حذف ، ساده یا ترکیب کرد.
مرحله 3. اگر مخرج یک عدد صحیح منفی است ، هر دو صورت حساب و مخرج را در -1 ضرب کنید تا مثبت شود
نکات
- می توانید به صورت آنلاین سایت هایی را جستجو کنید که می توانند به ساده سازی فرم های ریشه کمک کنند. فقط معادله را با علامت ریشه تایپ کنید ، و پس از فشار دادن Enter ، پاسخ ظاهر می شود.
- برای سوالات ساده تر ، ممکن است از تمام مراحل این مقاله استفاده نکنید. برای س questionsالات پیچیده تر ، ممکن است لازم باشد چندین مرحله را بیش از یک بار استفاده کنید. چند بار از مراحل "ساده" استفاده کنید و بررسی کنید که آیا پاسخ شما با معیارهای فرمول بندی استاندارد که قبلا بحث کردیم مطابقت دارد یا خیر. اگر پاسخ شما در فرمول استاندارد است ، کار شما تمام شده است. اما اگر نه ، می توانید یکی از مراحل بالا را بررسی کنید تا به شما در انجام این کار کمک کند.
- بیشتر ارجاعات به "فرمول استاندارد توصیه شده" برای شکل ریشه ها نیز در مورد اعداد مختلط (i = root (-1)) اعمال می شود. حتی اگر یک عبارت به جای ریشه دارای "i" باشد ، تا آنجا که ممکن است از مخرج هایی که هنوز i دارند ، خودداری کنید.
- برخی از دستورالعمل های این مقاله فرض می کنند که همه ریشه ها مربع هستند. همان اصول کلی در مورد ریشه های قدرتهای بالاتر صدق می کند ، اگرچه کار با برخی قسمت ها (به ویژه منطقی کردن مخرج) بسیار دشوار است. خودتان تصمیم بگیرید که چه شکلی می خواهید ، مانند sqr^3 (4) یا sqr^3 (2)^2. (به یاد ندارم که معمولاً در کتابهای درسی چه فرمی پیشنهاد می شود).
- در برخی از دستورالعمل های این مقاله از کلمه "فرمول استاندارد" برای توصیف "فرم معمولی" استفاده شده است. تفاوت در این است که فرمول استاندارد فقط فرم 1+sqrt (2) یا sqrt (2) +1 را می پذیرد و سایر اشکال را غیر استاندارد می داند. فرم ساده فرض می کند که شما خواننده آنقدر باهوش هستید که "شباهت" این دو عدد را ببینید ، هرچند که آنها در نوشتار یکسان نباشند (منظور از "یکسان" در خاصیت حسابی آنها (جمع جایگزین) است ، نه ویژگی جبری آنها (ریشه (2) ریشه منفی x^2-2 است)). ما امیدواریم که خوانندگان متوجه سهل انگاری جزئی در استفاده از این اصطلاح شوند.
- اگر هر یک از سرنخ ها مبهم یا متناقض به نظر می رسند ، تمام مراحل بدون ابهام و سازگار را انجام دهید و سپس هرکدام را که ترجیح می دهید انتخاب کنید.
