3 راه برای سه بعدی سازی

2024 نویسنده: Jason Gerald | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-15 08:13

سه جمله ای عبارت جبری است که از سه عبارت تشکیل شده است. به احتمال زیاد ، شما یاد می گیرید که چگونه یک سه جمله ای درجه دوم را معنی کنید ، یعنی سه جمله ای که در قالب تبر نوشته شده است² + bx + c چند ترفند برای یادگیری وجود دارد که می تواند برای انواع مختلف سه جمله ای درجه دوم استفاده شود ، اما با تمرین می توانید از آنها بهتر و سریعتر استفاده کنید. چند جمله ای های مرتبه بالاتر ، با اصطلاحاتی مانند x³ یا x⁴، همیشه نمی توان به یک شکل حل کرد ، اما اغلب می توانید از فاکتورگیری یا جایگزینی ساده برای تبدیل آن به مشکلی استفاده کنید که مانند هر فرمول درجه دوم قابل حل است.

گام

روش 1 از 3: در نظر گرفتن x² + bx + c

مرحله 1. ضرب PLDT را بیاموزید

شاید یاد گرفته باشید که چگونه PLDT را ضرب کنید ، یا "First، Outside، In، Last" برای ضرب عبارات مانند (x+2) (x+4). مفید است بدانیم که این ضرب چگونه کار می کند قبل از اینکه فاکتور بگیریم:

قبایل را ضرب کنید اولین: (ایکس+2)(ایکس+4) = ایکس² + _
قبایل را ضرب کنید خارج از: (ایکس+2) (x+

مرحله 4) = x²+ 4 برابر + _
قبایل را ضرب کنید که در: (x+

گام 2.)(ایکس+4) = x²+4x+ 2 برابر + _
قبایل را ضرب کنید نهایی: (x+

گام 2.)(ایکس

مرحله 4) = x²+4x+2x

مرحله 8
ساده کنید: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

مرحله 2. فاکتورگیری را درک کنید

وقتی دو جمله را با استفاده از روش PLDT ضرب می کنید ، یک سه جمله ای (یک عبارت با سه عبارت) به شکل a x دریافت می کنید.²+ b x+ c ، که a ، b و c اعداد معمولی هستند. اگر با معادله ای که فرم یکسانی دارد شروع کنید ، می توانید آن را به دو دو جمله ای تبدیل کنید.

اگر معادلات به این ترتیب نوشته نشده اند ، معادلات را به گونه ای تنظیم کنید که این ترتیب را داشته باشند. به عنوان مثال ، بازنویسی کنید 3x - 10 + x² تبدیل می شود ایکس² + 3x - 10.
زیرا بالاترین توان 2 (x است²، این نوع عبارت را درجه دوم می نامند.

مرحله 3. برای پاسخ به شکل ضرب PLDT یک فضای خالی بگذارید

فعلا فقط بنویس (_ _)(_ _) جایی که جواب را می نویسید ما هنگام کار روی آن را پر می کنیم

بین عبارات خالی + یا - ننویسید زیرا هنوز علامت صحیح را نمی دانیم

مرحله 4. اولین شرایط را پر کنید

برای مشکلات ساده ، اولین عبارت سه جمله ای شما فقط x است²، شرایط در موقعیت اول همیشه است ایکس و ایکس به اینها عوامل عبارت x هستند² زیرا x بار x = x².

مثال ما x² + 3x - 10 با x شروع می شود²، بنابراین می توانیم بنویسیم:
(x _) (x _)
ما در بخش بعدی روی مشکلات پیچیده تری کار خواهیم کرد ، از جمله سه جمله ای که با اصطلاحاتی مانند 6x شروع می شوند² یا -x²به در ضمن ، این نمونه سوالات را دنبال کنید.

مرحله 5. از فاکتورگیری برای حدس زدن آخرین شرایط استفاده کنید

اگر به عقب برگردید و مراحل نحوه ضرب PLDT را بخوانید ، خواهید دید که ضرب آخرین عبارات آخرین عبارت را در چند جمله ای (اصطلاحاتی که x ندارند) تولید می کند. بنابراین برای فاکتور ، ما باید دو عدد پیدا کنیم که در صورت ضرب ، آخرین عبارت را تولید می کنند.

در مثال ما x² + 3x - 10 ، آخرین ترم -10 است.
عوامل -10 چیست؟ چه عددی در 10 ضرب می شود؟
چندین احتمال وجود دارد: -1 بار 10 ، 1 بار -10 ، -2 بار 5 ، یا 2 بار -5. این جفت ها را در جایی بنویسید تا آنها را به خاطر بسپارید.
هنوز جواب ما را تغییر ندهید. پاسخ ما هنوز باید به این شکل باشد: (x _) (x _).

مرحله 6. امکاناتی را که با محصول بیرونی و داخلی مطابقت دارند آزمایش کنید

ما شرایط آخر را به چند احتمال محدود کرده ایم. از سیستم آزمایشی برای آزمایش همه احتمالات استفاده کنید ، عبارت بیرونی و داخلی را ضرب کنید و محصول را با سه جمله ای ما مقایسه کنید. مثلا:

مشکل اصلی ما عبارت "x" را در 3x داشت ، بنابراین نتایج آزمایش ما باید با این عبارت مطابقت داشته باشد.
آزمایش -1 و 10: (x -1) (x+10). خارج + داخل = 10x - x = 9x. اشتباه.
آزمایش های 1 و -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. این اشتباه است. در واقع ، اگر -1 و 10 را آزمایش کنید ، متوجه می شوید که 1 و -10 برعکس پاسخ بالا هستند: -9x به جای 9x.
تست های -2 و 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. نتیجه مطابق با چند جمله ای اولیه است ، بنابراین در اینجا پاسخ صحیح است: (x-2) (x+5).
در موارد ساده مانند این ، اگر در مقابل عبارت x ثابت نداشته باشید²، می توانید از روش سریع استفاده کنید: فقط دو عامل را با هم جمع کرده و یک "x" پشت آن قرار دهید (-2+5 → 3x). با این حال ، این روش برای مشکلات پیچیده کار نمی کند ، بنابراین بهتر است "راه طولانی" را که در بالا توضیح داده شد به خاطر بسپارید.

روش 2 از 3: فاکتورگیری سه نامی های پیچیده تر

مرحله 1. برای ساده سازی مشکلات پیچیده تر از فاکتورگیری ساده استفاده کنید

به عنوان مثال ، شما باید فاکتور را در نظر بگیرید 3x² + 9x - 30 به عددی را پیدا کنید که بتواند هر سه عبارت را فاکتور بگذارد ("بزرگترین عامل مشترک" یا GCF). در این مورد ، GCF 3 است:

3x² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3)(-10)
بنابراین ، 3x² + 9x - 30 = (3) (x)²+3x-10). با استفاده از مراحل بخش بالا می توانیم سه جمله ای جدید را تعیین کنیم. پاسخ نهایی ما خواهد بود (3) (x-2) (x+5).

مرحله 2. به دنبال عوامل پیچیده تر باشید

گاهی اوقات ، فاکتورگیری ممکن است متغیری را شامل شود ، یا ممکن است چندین بار برای پیدا کردن ساده ترین عبارت ممکن فاکتور بگذارید. در اینجا چند نمونه آورده شده است:

2 برابر²y + 14xy + 24y = (2 سال)(ایکس² + 7x + 12)
ایکس⁴ + 11 برابر³ - 26 برابر² = (ایکس²)(ایکس² +11x - 26)
-ایکس² + 6x - 9 = (-1)(ایکس² - 6x + 9)
فراموش نکنید که سه بعدی جدید را با استفاده از مراحل روش 1 دوباره تنظیم کنید. کار خود را بررسی کنید و نمونه هایی از مشکلات مشابه را در نمونه سوالات در انتهای این صفحه جستجو کنید.

مرحله 3. با عددی در مقابل x مسائل را حل کنید².

برخی از سه جمله ای های درجه دو را نمی توان به ساده ترین نوع مشکل تقلیل داد. نحوه حل مشکلات مانند 3x را بیاموزید² + 10x + 8 ، سپس به تنهایی با نمونه سوالات در انتهای این صفحه تمرین کنید:

پاسخ ما را اینگونه تنظیم کنید: (_ _)(_ _)
اصطلاحات "اول" ما هر کدام یک x خواهند داشت و ضرب آنها 3X می دهد²به تنها یک احتمال وجود دارد: (3x _) (x _).
عوامل 8 را فهرست کنید. شانس 1 برابر 8 یا 2 برابر 4 است.
این امکان را با استفاده از اصطلاحات بیرونی و داخلی آزمایش کنید. توجه داشته باشید که ترتیب عوامل بسیار مهم است زیرا عبارت بیرونی به جای x در 3x ضرب می شود. تا زمانی که Out+In = 10x (از مشکل اصلی) خارج نشوید ، همه احتمالات را امتحان کنید:
(3x+1) (x+8) 24x+x = 25x نه
(3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x نه
(3x+2) (x+4) 12x+2x = 14x نه
(3x+4) (x+2) 6x+4x = 10x آره به این عامل صحیح است.

مرحله 4. برای جایگزینی سه جمله ای مرتبه بالاتر از جایگزینی استفاده کنید

کتاب ریاضی شما ممکن است شما را با معادلاتی با قدرت بالا مانند x شگفت زده کند⁴، حتی پس از استفاده از فاکتورینگ ساده برای سهولت مشکل. سعی کنید یک متغیر جدید را جایگزین کنید که آن را تبدیل به مشکلی کند که می دانید چگونه حل کنید. مثلا:

ایکس⁵+13 برابر³+36 برابر
= (x) (x⁴+13 برابر²+36)
بیایید یک متغیر جدید ایجاد کنیم. فرض کنید y = x² و در آن قرار دهید:
(x) (y²+13y+36)
= (x) (y+9) (y+4). اکنون ، آن را به متغیر اولیه تبدیل کنید:
= (x) (x²+9) (x²+4)
= (x) (x ± 3) (x ± 2)

روش 3 از 3: فاکتورگیری موارد خاص

مرحله 1. اعداد اول را بیابید

نگاه کنید تا ببینید آیا ثابت در ضلع اول یا سوم از سه جمله ای یک عدد اول است؟ یک عدد اول فقط بر خود و 1 بخش پذیر است ، بنابراین تنها یک جفت از عوامل دو جمله ای وجود دارد.

به عنوان مثال ، در x² + 6x + 5 ، 5 یک عدد اول است ، بنابراین دو جمله ای باید از شکل (_ 5) (_ 1) باشد.
در مسئله 3x²+10x+8 ، 3 یک عدد اول است ، بنابراین دو جمله ای باید به شکل (3x _) (x _) باشد.
برای سوالات 3x²+4x+1 ، هر دو 3 و 1 اعداد اول هستند ، بنابراین تنها راه حل ممکن (3x+1) (x+1) است. (برای بررسی پاسخ خود باید این عدد را ضرب کنید زیرا برخی از اصطلاحات را نمی توان به طور کلی در نظر گرفت - به عنوان مثال ، 3x²+100x+1 فاکتور ندارد.)

مرحله 2 - پیدا کنید که آیا سه جمله ای یک مربع کامل است یا خیر

یک مثلث کامل مربعی را می توان در دو جمله دو برابر در نظر گرفت و ضریب معمولاً به صورت (x+1) نوشته می شود.² و نه (x+1) (x+1). در اینجا چند مثال وجود دارد که معمولاً در سوالات ظاهر می شوند:

ایکس²+2x+1 = (x+1)²، و x²-2x+1 = (x-1)²
ایکس²+4x+4 = (x+2)²، و x²-4x+4 = (x-2)²
ایکس²+6x+9 = (x+3)²، و x²-6x+9 = (x-3)²
سه ضلعی مربع کامل به شکل a x² + bx + c همیشه دارای عبارات a و c است که دارای مربعات کامل مثبت هستند (مانند 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، یا 25) و یک عبارت b (مثبت یا منفی) که برابر 2 است (√a * √c) به

مرحله 3. دریابید که آیا مشکلی راه حلی ندارد

همه سه جمله ای را نمی توان در نظر گرفت. اگر نمی توانید سه جمله ای درجه دوم (ax²+bx+c) ، از فرمول درجه دوم برای یافتن پاسخ استفاده کنید. اگر تنها پاسخ ریشه مربع یک عدد منفی باشد ، هیچ راه حل عددی واقعی وجود ندارد ، پس مشکل فاکتور ندارد.

برای سه جمله ای های غیر مربع ، از معیار آیزنشتاین استفاده کنید ، که در قسمت نکات توضیح داده شده است

پاسخ و نمونه سوالات

پاسخ به سوالات "فاکتورگیری پیچیده".

اینها س questionsالات مرحله "عوامل پیچیده تر" است. ما مشکلات را ساده تر کرده ایم ، بنابراین سعی کنید آنها را با استفاده از مراحل روش 1 حل کنید ، سپس کار خود را در اینجا بررسی کنید:
- (2 سال) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (ایکس²)(ایکس² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²
مشکلات فاکتورینگ پیچیده تری را امتحان کنید.

این مشکلات در هر اصطلاح عامل یکسانی دارند که ابتدا باید در نظر گرفته شوند. برای مشاهده پاسخ ها ، جاهای خالی را بعد از علامت برابر مسدود کنید تا بتوانید کار خود را بررسی کنید:
- 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) برای مشاهده پاسخ ، جای خالی را مسدود کنید
- -5 برابر³y²+30 برابر²y²-25 سال²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
با استفاده از سوالات تمرین کنید به این مشکلات را نمی توان در معادلات ساده تری درنظر گرفت ، بنابراین شما باید پاسخ را در فرم (_x + _) (_ x + _) با استفاده از آزمون و خطا بیابید:
- 2 برابر²+3x-5 = (2x+5) (x-1) برای مشاهده پاسخ مسدود کنید
- 9 برابر²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (نکته: ممکن است بخواهید بیش از یک جفت عامل را برای 9 برابر امتحان کنید.)
نکات
- اگر نمی توانید بفهمید چگونه یک سه جمله ای درجه دوم (ax²+bx+c) ، می توانید از فرمول درجه دوم برای پیدا کردن x استفاده کنید.
- در حالی که نیازی به دانستن نحوه انجام این کار ندارید ، می توانید از معیارهای آیزنشتاین برای تعیین سریع اینکه آیا چند جمله ای را نمی توان ساده و در نظر گرفت استفاده کرد. این معیار در مورد چند جمله ای صدق می کند اما برای سه جمله ای ها بهتر است استفاده شود. اگر عدد اول p وجود داشته باشد که دو عبارت آخر را به طور مساوی تقسیم کرده و شرایط زیر را برآورده می کند ، چند جمله ای را نمی توان ساده کرد:
  - اصطلاحات ثابت (بدون متغیر) مضرب p هستند اما مضرب p نیستند².
  - پیشوند (برای مثال a in ax²+bx+c) مضرب p نیست.
  - به عنوان مثال ، 14x² 51+ +45x را نمی توان ساده کرد زیرا یک عدد اول (3) وجود دارد که می توان آن را بر 45 و 51 تقسیم کرد ، اما بر 14 بخش پذیر نیست و 51 بر 3 قابل تقسیم نیست².
هشدار

در حالی که این امر در مورد سه جمله ای درجه دوم صادق است ، سه جمله ای که می توان در نظر گرفت لزوماً حاصل دو دو جمله ای نیست. به عنوان مثال ، x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).