در حساب مشتق ، نقطه عطف نقطه ای از منحنی است که در آن منحنی علامت را تغییر می دهد (از مثبت به منفی یا از منفی به مثبت). برای تعیین تغییرات اساسی در داده ها ، از موضوعات مختلفی از جمله مهندسی ، اقتصاد و آمار استفاده می شود. اگر می خواهید نقطه عطف منحنی را پیدا کنید ، به مرحله 1 بروید.
گام
روش 1 از 3: درک نقاط عطف
مرحله 1. تابع مقعر را درک کنید
برای درک نقطه عطف ، باید بین توابع مقعر و محدب تمایز قائل شوید. یک تابع مقعر تابعی است که در آن خط اتصال دو نقطه روی نمودار هرگز بالای نمودار نیست.
مرحله 2. تابع محدب را درک کنید
یک تابع محدب اساساً برعکس یک تابع محدب است: یعنی تابعی که در آن خط اتصال دو نقطه روی نمودار هرگز زیر نمودار نیست.
مرحله 3. اصول اولیه یک تابع را درک کنید
اساس یک تابع نقطه ای است که تابع برابر با صفر است.
اگر می خواهید یک تابع را نمودار کنید ، پایه ها نقاطی هستند که تابع محور x را قطع می کند
روش 2 از 3: پیدا کردن مشتق یک تابع
مرحله 1. اولین مشتق تابع خود را پیدا کنید
قبل از اینکه بتوانید نقطه عطف را پیدا کنید ، باید مشتق عملکرد خود را پیدا کنید. مشتق تابع اساسی را می توان در هر کتاب حسابداری یافت. قبل از اینکه بتوانید به مشاغل پیچیده تر بروید ، باید آنها را یاد بگیرید. مشتق اول به صورت f '(x) نوشته شده است. برای بیان چند جمله ای شکل axp + bx (p − 1) + cx + d ، اولین مشتق apx (p − 1) + b (p 1) x (p − 2) + c است.
-
برای توضیح ، فرض کنید باید نقطه عطف تابع f (x) = x3 +2x − 1 را پیدا کنید. اولین مشتق تابع را به صورت زیر محاسبه کنید:
f (x) = (x3 + 2x 1) ′ = (x3) ′ + (2x) (1) ′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
مرحله 2. مشتق دوم تابع خود را بیابید
مشتق دوم اولین مشتق اولین مشتق تابع است که به صورت f (x) نوشته شده است.
-
در مثال بالا ، محاسبه مشتق دوم تابع به این صورت است:
f (x) = (3x2 + 2) = 2 × 3 × x + 0 = 6x
مرحله 3. مشتق دوم را برابر صفر کنید
مشتق دوم خود را برابر صفر قرار دهید و معادله را حل کنید. پاسخ شما یک نقطه عطف احتمالی است.
-
در مثال بالا ، محاسبه شما به این شکل است:
f (x) = 0
6x = 0
x = 0
مرحله 4. سومین مشتق تابع خود را بیابید
برای اینکه ببینید آیا پاسخ شما واقعاً نقطه عطفی است ، مشتق سوم را پیدا کنید ، که مشتق اول مشتق دوم تابع است که به صورت f (x) نوشته شده است.
-
در مثال بالا ، محاسبه شما به این شکل است:
f (x) = (6x) = 6
روش 3 از 3: پیدا کردن نقاط عطف
مرحله 1. مشتق سوم خود را بررسی کنید
قانون استاندارد برای بررسی نقاط عطف احتمالی به شرح زیر است: "اگر مشتق سوم صفر نباشد ، f (x) =/ 0 ، نقطه عطف احتمالی در واقع نقطه عطف است." مشتق سوم خود را بررسی کنید. اگر برابر صفر نباشد ، آن مقدار نقطه عطف واقعی است.
در مثال بالا ، مشتق سوم شما 6 است نه 0. بنابراین ، 6 نقطه عطف واقعی است
مرحله 2. نقطه عطف را پیدا کنید
مختصات نقطه عطف به صورت (x ، f (x)) نوشته می شود ، جایی که x مقدار نقطه متغیر در نقطه عطف و f (x) مقدار عملکرد در نقطه عطف است.
-
در مثال بالا ، به یاد داشته باشید که وقتی مشتق دوم را محاسبه می کنید ، می بینید که x = 0. بنابراین ، برای تعیین مختصات خود باید f (0) را بیابید. محاسبه شما به این شکل خواهد بود:
f (0) = 03 +2 × 0−1 = 1.
مرحله 3. مختصات خود را ثبت کنید
مختصات نقطه عطف شما مقدار x و مقداری است که در بالا محاسبه کرده اید.
