معادله منطقی کسری است که دارای یک یا چند متغیر در شمارنده یا مخرج است. معادله منطقی هر کسری است که حداقل یک معادله منطقی را شامل می شود. معادلات عقلانی نیز مانند معادلات جبری معمولی با انجام عملیات یکسان در دو طرف معادله حل می شوند تا زمانی که متغیرها به هر دو طرف معادله منتقل شوند. دو تکنیک ویژه ، ضرب متقاطع و یافتن کمترین مخرج مشترک ، روشهای بسیار مفیدی برای جابجایی متغیرها و حل معادلات منطقی هستند.
گام
روش 1 از 2: ضرب متقاطع
مرحله 1. در صورت نیاز ، معادله خود را دوباره مرتب کنید تا کسری در یک طرف معادله بدست آید
ضرب متقاطع یک راه سریع و آسان برای حل معادلات منطقی است. متأسفانه ، این روش فقط می تواند برای معادلات عقلانی استفاده شود که حداقل یک معادله یا کسر منطقی در هر طرف معادله دارد. اگر معادله شما این الزامات محصول متقابل را برآورده نمی کند ، ممکن است مجبور شوید برای جابجایی قطعات به مکان مناسب از عملیات جبری استفاده کنید.
-
به عنوان مثال ، معادله (x + 3)/4-x/(-2) = 0 را می توان به راحتی با افزودن x/(-2) به هر دو طرف معادله در فرم محصول متقابل قرار داد ، به طوری که به (x + 3)/4 = x/(--2).
توجه داشته باشید که اعداد اعشاری و صحیح را می توان با دادن مخرج 1 به کسر تبدیل کرد (x + 3)/4 - 2 ، 5 = 5 ، برای مثال ، می تواند به صورت (x + 3)/4 = 7 ، 5/بازنویسی شود. 1 ، باعث می شود که شرایط ضرب متقابل را برآورده کند
- برخی از معادلات منطقی را نمی توان به راحتی به شکلی تقلیل داد که در هر طرف یک کسر یا معادله عقلانی وجود دارد. در چنین مواردی از همان رویکرد کمترین مخرج استفاده کنید.
مرحله 2. ضربدر ضربدر
ضرب متقاطع یعنی ضرب یکی از شمارنده های کسر بر مخرج کسر دیگر و بالعکس. عدد کسر سمت چپ را بر مخرج کسر سمت راست ضرب کنید. با مخرج راست با مخرج چپ این کار را تکرار کنید.
ضرب متقاطع بر اساس اصول اولیه جبری عمل می کند. معادلات منطقی و سایر کسرها را می توان با ضرب در مخرج به غیر کسر تبدیل کرد. محصول متقاطع در اصل یک روش سریع برای ضرب هر دو طرف معادله در هر دو مخرج است. باور نکن؟ آن را امتحان کنید - پس از ساده سازی آن ، به همان نتیجه خواهید رسید
مرحله 3. دو محصول را برابر هم قرار دهید
پس از ضرب متقاطع ، دو نتیجه ضرب دریافت خواهید کرد. آنها را برابر یکدیگر قرار دهید و ساده کنید تا معادله تا حد ممکن ساده شود.
به عنوان مثال ، اگر معادله منطقی اولیه شما (x+3)/4 = x/(-2) بود ، پس از ضرب ضربدری ، معادله جدید شما -2 (x+3) = 4x می شود. در صورت تمایل ، می توانید آن را به صورت -2x - 6 = 4x نیز بنویسید
مرحله 4. مقدار متغیر خود را پیدا کنید
برای یافتن مقدار متغیر معادله خود از عملیات جبری استفاده کنید. به یاد داشته باشید که اگر x در دو طرف معادله ظاهر شود ، باید x را از هر دو طرف معادله اضافه یا کم کنید تا x فقط در یک طرف معادله باقی بماند.
در مثال ما ، می توانیم هر دو طرف معادله را بر -2 تقسیم کنیم ، بنابراین x+3 = -2x. اگر x را از هر دو طرف کم کنیم 3 = -3x می دهیم. در نهایت ، با تقسیم هر دو طرف بر -3 ، نتیجه -1 = x می شود که می توان آن را به صورت x = -1 نوشت. ما مقدار x را یافته ایم و معادله منطقی خود را حل می کنیم
روش 2 از 2: پیدا کردن کمترین مخرج مشترک
مرحله 1. زمان دقیق استفاده از کوچکترین مخرج را بدانید
از کوچکترین مخرج می توان برای ساده سازی معادلات منطقی استفاده کرد و آنها را برای مقادیر متغیر قابل جستجو کرد. یافتن کمترین مخرج مشترک ایده خوبی است اگر معادله منطقی شما به آسانی بر حسب یک کسر (و فقط یک کسر) در هر طرف معادله نوشته نشود. برای حل معادلات منطقی با سه یا چند قسمت ، کمترین مخرج مشترک مفید است. با این حال ، برای حل یک معادله منطقی فقط با دو بخش ، سریعتر از محصول ضربدری استفاده می شود.
مرحله 2. مخرج هر کسر را بررسی کنید
کوچکترین عددی را که هر مخرج می تواند تقسیم کند مشخص کرده و یک عدد کامل تولید کند. این عدد برای معادله شما کمترین مخرج مشترک است.
- گاهی کوچکترین مخرج مشترک - یعنی کوچکترین عددی که همه عوامل را در مخرج دارد - به وضوح قابل مشاهده است. به عنوان مثال ، اگر معادله شما x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6 باشد ، دیدن کوچکترین عددی که ضریب 3 ، 2 و 6 داشته باشد ، یعنی عدد 6 ، کار سختی نیست.
- با این حال ، اغلب ، کمترین مخرج معادله منطقی به وضوح قابل مشاهده نیست. در چنین موردی ، سعی کنید مضرب مخرج بزرگتر را بررسی کنید تا عددی پیدا کنید که ضریب همه مخرج های کوچک دیگر را داشته باشد. اغلب ، کمترین مخرج مشترک حاصل دو مخرج است. به عنوان مثال ، در معادله x/8 + 2/6 = (x-3)/9 ، کمترین مخرج مشترک 8*9 = 72 است.
- اگر یک یا چند مخرج کسر شما متغیر داشته باشند ، انجام این کار دشوارتر است ، اما امکان پذیر است. در چنین موردی ، کمترین مخرج معادله (با متغیر) است که بر همه مخرج های دیگر قابل تقسیم است. به عنوان مثال در معادله 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) ، حداقل مخرج مشترک 3x (x-1) است زیرا هر مخرجی می تواند آن را تقسیم کند-تقسیم بر (x-1) 3x می دهد ، تقسیم بر 3x می دهد (x-1) ، و تقسیم بر x 3 می دهد (x-1).
مرحله 3. هر کسر را در معادله منطقی در 1 ضرب کنید
ضرب هر قسمت در 1 بی فایده به نظر می رسد. اما این ترفند اینجاست. 1 را می توان به عنوان هر عددی که در عدد و مخرج یکسان باشد تعریف کرد ، مانند -2/2 و 3/3 ، که روش صحیح نوشتن 1 است. این روش از تعریف جایگزین استفاده می کند. هر کسر در معادله عقلانی خود را در 1 ضرب کنید ، عدد 1 را بنویسید که وقتی در مخرج ضرب شود کوچکترین مخرج مشترک را به دست می آورد.
- در مثال اصلی ما ، x/3 را در 2/2 ضرب می کنیم تا 2x/6 و 1/2 را در 3/3 ضرب می کنیم تا به 3/6 برسیم. 2x + 1/6 در حال حاضر کوچکترین مخرج 6 را دارد ، بنابراین می توانیم آن را در 1/1 ضرب کرده یا آن را به حال خود رها کنیم.
- در مثال ما با متغیری در مخرج کسر ، فرایند کمی پیچیده تر است. از آنجا که کوچکترین مخرج ما 3x (x-1) است ، ما هر معادله منطقی را با چیزی که 3x (x-1) بر می گرداند ضرب می کنیم. 5/(x-1) را در (3x)/(3x) ضرب می کنیم که 5 (3x)/(3x) (x-1) ، 1/x را در 3 (x-1)/3 (x- ضرب می کنیم) 1) که 3 (x-1)/3x (x-1) می دهد و ضرب 2/(3x) در (x-1)/(x-1) 2 (x-1)/3x (x- 1) می دهد)
مرحله 4. مقدار x را ساده کرده و پیدا کنید
حال ، از آنجا که هر قسمت از معادله عقلانی شما مخرج یکسانی دارد ، می توانید مخرج را از معادله خود حذف کرده و برای شمارنده حل کنید. هر دو طرف معادله را ضرب کنید تا مقدار شمارنده به دست آید. سپس ، از عملیات جبری برای پیدا کردن مقدار x (یا هر متغیری که می خواهید حل کنید) در یک طرف معادله استفاده کنید.
- در مثال اصلی ما ، پس از ضرب همه قسمتها در فرم جایگزین 1 ، 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6 را بدست می آوریم. دو کسر را می توان در صورت مخرج یکسان اضافه کرد ، بنابراین ما می توانیم این معادله را بدون تغییر مقدار به (2x+3)/6 = (3x+1)/6 ساده کنیم. هر دو طرف را در 6 ضرب کنید تا مخرج حذف شود ، بنابراین نتیجه 2x+3 = 3x+1 است. از هر دو طرف 1 را کم کنید تا 2x+2 = 3x و 2x را از هر دو طرف کم کنید تا 2 = x بدست آید که می توان آن را x = 2 نوشت.
- در مثال ما با متغیر مخرج ، معادله ما پس از ضرب در 1 می شود 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). ضرب همه قسمتها در یک کوچکترین مخرج ، به ما اجازه می دهد که مخرج را حذف کنیم ، 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1) می شود. این امر همچنین در مورد 5x = 3x -3 + 2x -2 صدق می کند ، که به 15x = x -5 ساده می شود. با کم کردن x از هر دو طرف 14x = -5 به دست می آید ، که در نهایت به x = -5/14 ساده می شود.
نکات
- وقتی متغیر را حل کردید ، با متصل کردن مقدار متغیر به معادله اصلی ، پاسخ خود را بررسی کنید. اگر مقدار متغیر شما صحیح است ، می توانید معادله اصلی خود را در یک عبارت ساده که همیشه برابر 1 = 1 است ساده کنید.
- توجه داشته باشید که می توانید هر چند جمله ای را به عنوان یک معادله منطقی بنویسید. آن را بالای مخرج 1 قرار دهید. بنابراین x+3 و (x+3)/1 دارای ارزش یکسانی هستند ، اما معادله دوم را می توان به عنوان معادله منطقی طبقه بندی کرد زیرا به صورت کسر نوشته شده است.
