اغلب از دانش آموزان ریاضی خواسته می شود تا پاسخ های خود را در ساده ترین شکل خود یادداشت کنند - به عبارت دیگر ، تا آنجا که ممکن است پاسخ ها را زیبا بنویسند. اگرچه معادلات طولانی ، سفت و کوتاه و همچنین زیبا ، از نظر فنی یکسان هستند ، اما اغلب ، اگر پاسخ نهایی به ساده ترین شکل آن کاهش نیافته باشد ، یک مسئله ریاضی کامل تلقی نمی شود. همچنین ، پاسخ در ساده ترین شکل تقریباً ساده ترین معادله برای کار است. به همین دلیل ، یادگیری نحوه ساده سازی معادلات یک مهارت مهم برای ریاضیدانان است.
گام
روش 1 از 2: استفاده از توالی عملیات
مرحله 1. ترتیب عملیات را بدانید
هنگام ساده سازی عبارات ریاضی ، نمی توانید فقط از چپ به راست ، ضرب ، جمع ، تفریق و غیره را به ترتیب از چپ به راست کار کنید. برخی از عملیات ریاضی باید بر دیگران اولویت داشته باشند و ابتدا انجام شوند. در واقع ، استفاده از ترتیب اشتباه عملیات می تواند پاسخ اشتباهی بدهد. ترتیب عملیات عبارت است از: قسمت داخل پرانتز ، توان ، ضرب ، تقسیم ، جمع ، و در نهایت ، تفریق. مخففی که می توانید برای به خاطر سپردن آن استفاده کنید این است که مادر خوب ، بد و فقیر نیست.
توجه داشته باشید که در حالی که دانش اساسی در مورد ترتیب عملیات می تواند اساسی ترین معادلات را ساده کند ، برای ساده سازی بسیاری از معادلات متغیر ، از جمله تقریباً تمام چند جمله ای ها ، تکنیک های خاصی مورد نیاز است. برای اطلاعات بیشتر به روش دوم زیر مراجعه کنید
مرحله 2. با تکمیل تمام قسمت های داخل پرانتز شروع کنید
در ریاضیات ، پرانتز نشان می دهد که قسمت داخلی باید جدا از عبارت خارج از پرانتز محاسبه شود. صرف نظر از این که در داخل پرانتز چه عملیاتی وجود دارد ، وقتی سعی می کنید یک معادله را ساده کنید ، ابتدا قسمت داخل پرانتز را کامل کنید. به عنوان مثال ، در پرانتز ، قبل از جمع ، تفریق و … باید ضرب کنید.
-
به عنوان مثال ، بیایید معادله 2x + 4 (5 + 2) + 3 را ساده کنیم2 - (3 + 4/2). در این معادله ، ابتدا باید قسمت داخل پرانتز یعنی 5 + 2 و 3 + 4/2 را ابتدا حل کنیم. 5 + 2 =
مرحله 7. 3 + 4/2 = 3 + 2
مرحله 5
قسمت در براکت دوم به 5 ساده می شود زیرا طبق ترتیب عملیات ، 4/2 را ابتدا در براکت ها تقسیم می کنیم. اگر فقط از چپ به راست کار می کنیم ، ابتدا 3 و 4 را اضافه می کنیم ، سپس بر 2 تقسیم می کنیم و جواب اشتباه را 7/2 می دهیم
- توجه - اگر پرانتزهای متعددی در داخل پرانتز وجود دارد ، قسمت داخل براکت را تکمیل کنید ، سپس دوم داخلی و غیره.
مرحله 3. توان را حل کنید
پس از اتمام براکت ها ، در مرحله بعد ، معادله خود را حل کنید. این به راحتی به خاطر سپرده می شود زیرا در نماها ، عدد پایه و توان به توان در کنار یکدیگر قرار دارند. پاسخ هر قسمت از توان را بیابید ، سپس پاسخ خود را به معادله وصل کنید تا قسمت نماد را جایگزین کند.
پس از تکمیل قسمت داخل پرانتز ، معادله مثال ما اکنون 2x + 4 (7) + 3 می شود2 - 5 تنها نمایی که در مثال ما وجود دارد 3 است2، که معادل 9 است ، این نتیجه را به معادله خود اضافه کنید تا 3 جایگزین شود2 در نتیجه 2x + 4 (7) + 9 - 5.
مرحله 4. مسئله ضرب را در معادله خود حل کنید
در مرحله بعد ، هرگونه ضرب مورد نیاز در معادله خود را انجام دهید. به یاد داشته باشید که ضرب را می توان به روش های مختلف نوشت. × نقطه یا نماد ستاره راهی برای نشان دادن ضرب است. با این حال ، یک عدد در کنار پرانتز یا یک متغیر (مانند 4 (x)) نیز نشان دهنده ضرب است.
-
در مسئله ما دو قسمت برای ضرب وجود دارد: 2x (2x برابر 2 × x) و 4 (7). ما مقدار x را نمی دانیم ، بنابراین فقط آن را در 2x می گذاریم. 4 (7) = 4 × 7 =
مرحله 28 به ما می توانیم معادله خود را 2x + 28 + 9 - 5 بازنویسی کنیم.
مرحله 5. به تقسیم ادامه دهید
وقتی به دنبال مشکلات تقسیم در معادلات خود هستید ، به خاطر داشته باشید که مانند ضرب ، تقسیم را می توان به روش های مختلفی نوشت. یکی از این نمادها نماد است ، اما به خاطر داشته باشید که خطوط تیره و تیره مانند کسرها (به عنوان مثال 3/4) نیز نشان دهنده تقسیم است.
زیرا ما قبلاً تقسیم (4/2) را زمانی انجام دادیم که قطعات را در داخل براکت به پایان رساندیم. مثال ما از قبل مشکل تقسیم ندارد ، بنابراین این مرحله را رد می کنیم. این نکته مهمی را نشان می دهد - هنگام ساده سازی یک عبارت لازم نیست همه عملیات را انجام دهید ، فقط عملیات موجود در مشکل شماست
مرحله 6. سپس ، هر آنچه را در معادله خود دارید اضافه کنید
شما می توانید از چپ به راست کار کنید ، اما جمع کردن اعداد آسان برای افزودن آسان تر است. به عنوان مثال ، در مسئله 49 + 29 + 51 + 71 ، افزودن 49 + 51 = 100 ، 29 + 71 = 100 و 100 + 100 = 200 آسان تر از 49 + 29 = 78 ، 78 + 51 = 129 است. ، و 129 + 71 = 200.
معادله مثال ما تا حدی به 2x + 28 + 9 - 5 ساده شده است. اکنون ، ما باید اعدادی را که می توانیم جمع کنیم جمع کنیم - اجازه دهید هر مشکل جمع را از چپ به راست بررسی کنیم. ما نمی توانیم 2x و 28 را اضافه کنیم زیرا مقدار x را نمی دانیم ، بنابراین فقط از آن می گذریم. 28 + 9 = 37 ، می تواند به صورت 2x + 37 - 5 بازنویسی شود.
مرحله 7. آخرین مرحله از توالی عملیات ، تفریق است
با حل مسائل تفریق باقی مانده مشکل خود را ادامه دهید. ممکن است بتوانید تفریق را به عنوان افزودن اعداد منفی در این مرحله یا استفاده از مراحل مشابه برای مسأله جمع معمولی در نظر بگیرید - انتخاب شما بر پاسخ شما تأثیر نمی گذارد.
-
در مسئله ما ، 2x + 37 - 5 ، فقط یک مسئله تفریق وجود دارد. 37 - 5 =
مرحله 32
مرحله 8. معادله خود را بررسی کنید
پس از حل با استفاده از ترتیب عملیات ، معادله شما باید به ساده ترین شکل خود ساده شود. با این حال ، اگر معادله شما شامل یک یا چند متغیر است ، درک کنید که متغیرهای شما نیازی به کار ندارند. برای ساده کردن یک متغیر ، یا باید مقدار متغیر خود را بیابید یا از تکنیک های خاصی برای ساده سازی عبارت استفاده کنید (مرحله زیر را ببینید).
پاسخ نهایی ما 2x + 32 است. ما نمی توانیم این جمع نهایی را حل کنیم مگر اینکه مقدار x را بدانیم ، اما اگر مقدار آن را بدانیم ، حل این معادله بسیار ساده تر از معادله اصلی طولانی ما خواهد بود
روش 2 از 2: ساده سازی معادلات پیچیده
مرحله 1. قسمتهایی را که متغیر یکسانی دارند جمع کنید
هنگام حل معادلات متغیر ، به یاد داشته باشید که قسمتهایی که متغیر و توان یکسانی دارند (یا متغیر یکسان) می توانند مانند اعداد معمولی جمع و تفریق شوند. این قسمت باید متغیر و توان یکسانی داشته باشد. به عنوان مثال ، 7x و 5x را می توان اضافه کرد ، اما 7x و 5x2 قابل جمع شدن نیست
- این قانون در مورد برخی متغیرها نیز صدق می کند. به عنوان مثال ، 2xy2 می تواند توسط -3xy خلاصه شود2، اما نمی توان آن را با 3 برابر خلاصه کرد2y یا -3y2.
- به معادله x مراجعه کنید2 + 3x + 6 - 8x. در این معادله ، ما می توانیم 3x و -8x را اضافه کنیم زیرا آنها متغیر و توان یکسانی دارند. معادله ساده x می شود2 - 5x + 6.
مرحله 2. اعداد کسری را با تقسیم یا خط کشی عوامل ساده کنید
کسرهایی که فقط در اعداد و مخرج دارای اعداد (و متغیر) نیستند را می توان به چند طریق ساده کرد. اولین و شاید ساده ترین آن این است که کسر را به عنوان مسئله تقسیم در نظر بگیریم و مخرج را بر شمارنده تقسیم کنیم. همچنین ، هر عامل ضربی که در شمارنده و مخرج ظاهر می شود ، قابل رد شدن است زیرا تقسیم دو عامل منجر به عدد 1 می شود.
برای مثال ، به کسر 36/60 توجه کنید. اگر ماشین حساب داریم ، می توانیم آن را تقسیم کنیم تا به جواب برسیم 0, 6 به با این حال ، اگر ماشین حساب نداریم ، می توانیم با کنار هم گذاشتن عوامل مشابه ، آن را ساده کنیم. روش دیگر تصور 36/60 (6 6 6)/(10 6 6) است. این کسر را می توان به صورت 6/6 × 6/10 نوشت. 6/6 = 1 ، بنابراین کسر ما در واقع 1 × 6/10 = 6/10 است. با این حال ، ما هنوز کار خود را تمام نکرده ایم - هر دو 6 و 10 دارای یک عامل هستند که 2 است. با تکرار روش فوق ، نتیجه بدست می آید 3/5.
مرحله 3. در کسر متغیر ، همه عوامل متغیر را خط کشی کنید
معادلات متغیر به شکل کسری روش ساده ای برای ساده سازی دارند. مانند کسرهای معمولی ، کسرهای متغیر به شما این امکان را می دهند که عواملی را که هم مخرج و هم مخرج مشترک هستند حذف کنید. با این حال ، در کسرهای متغیر ، این عوامل می توانند اعداد و معادلات متغیر واقعی باشند.
- بیایید معادله را بگوییم (3x2 + 3x)/(-3x2 + 15x). این کسر را می توان به صورت (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x) نوشت ، 3x در هر دو عدد و مخرج ظاهر می شود. با کنار زدن این عوامل از معادله ، نتیجه (x + 1)/(5 - x) می شود. همانند بیان (2 برابر2 + 4x + 6)/2 ، از آنجا که هر قسمت بر 2 بخش پذیر است ، می توانیم معادله را به صورت (2 (x2 + 2x + 3))/2 و سپس به x ساده کنید2 + 2x + 3.
- توجه داشته باشید که نمی توانید همه قسمت ها را خط کشی کنید - فقط می توانید عوامل ضرب را که در شمارنده و مخرج ظاهر می شوند ، کنار بگذارید. به عنوان مثال ، در عبارت (x (x + 2))/x ، x را می توان از شمارنده و مخرج خارج کرد ، به طوری که (x + 2)/1 = (x + 2) می شود. با این حال ، (x + 2)/x را نمی توان به 2/1 = 2 خط داد.
مرحله 4. قسمت داخل پرانتز را با ثابت ضرب کنید
هنگام ضرب قسمتی که متغیر داخل پرانتز با یک ثابت وجود دارد ، گاهی ضرب هر قسمت در پرانتز با ثابت می تواند معادله ساده تری را به دنبال داشته باشد. این امر در مورد ثابت هایی که فقط شامل اعداد و ثابت هایی هستند که متغیر دارند صدق می کند.
- به عنوان مثال ، معادله 3 (x2 + 8) را می توان به 3 برابر ساده کرد2 + 24 ، در حالی که 3x (x2 + 8) را می توان به 3 برابر ساده کرد3 + 24 برابر
- توجه داشته باشید که در برخی موارد ، مانند کسرهای متغیر ، می توان ثابتهای اطراف پرانتز را خط کشی کرد تا نیازی به ضرب در قسمت داخل پرانتز نباشد. در کسرها (3 (x2 + 8))/3x ، برای مثال ، فاکتور 3 در هر دو عدد و مخرج نشان داده می شود ، بنابراین می توانیم از آن عبور کرده و عبارت را به (x2 + 8)/x کار با این عبارت ساده تر و آسان تر از (3x) است3 + 24x)/3x ، که در صورت ضرب آن نتیجه ای خواهیم داشت.
مرحله 5. با فاکتورگیری ساده کنید
فاکتورینگ روشی است که می توان از آن برای ساده سازی برخی از عبارات متغیر ، از جمله چند جمله ای استفاده کرد. فاکتور را در مقابل ضرب در قسمت داخل پرانتز در مرحله بالا تصور کنید - گاهی اوقات ، یک عبارت را می توان به عنوان دو قسمت که در یکدیگر ضرب می شوند تصور کرد ، نه یک عبارت واحد. این امر به ویژه در صورتی صادق است که معادله به شما اجازه دهد یکی از قسمتهای آن را (مانند کسرها) خط بزنید. در موارد خاص (اغلب با معادلات درجه دوم) ، فاکتورینگ حتی ممکن است به شما این امکان را بدهد که راه حل معادله را پیدا کنید.
- اجازه دهید دوباره عبارت x را فرض کنیم2 - 5x + 6. این عبارت را می توان به (x - 3) (x - 2) در نظر گرفت. بنابراین ، اگر x2 - 5x + 6 عدد یک معادله معین است که مخرج دارای یکی از این عوامل است ، مانند عبارت (x2 - 5x + 6)/(2 (x - 2)) ، ممکن است بخواهیم آن را به صورت عامل بنویسیم تا بتوانیم عامل را با مخرج خط بزنیم. به عبارت دیگر ، در (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) ، قسمت (x - 2) را می توان به صورت (x - 3)/2 خط کشی کرد.
-
همانطور که در بالا اشاره شد ، دلیل دیگری که ممکن است بخواهید معادلات خود را فاکتور بگیرید این است که فاکتورینگ می تواند به معادلات خاصی پاسخ دهد ، به خصوص اگر آنها با 0 برابر نوشته شده باشند. به عنوان مثال ، معادله x2 - 5x + 6 = 0. با محاسبه (x - 3) (x - 2) = 0. از آنجا که هر عددی در صفر ضرب می شود برابر با صفر است ، می دانیم که اگر هر قسمتی از پرانتز برابر صفر باشد ، تمام معادله سمت چپ علامت مساوی نیز صفر است به طوری که
مرحله 3 دا
گام 2. دو پاسخ معادله هستند.
