نحوه ساده سازی کسرهای پیچیده: 9 مرحله (همراه با تصاویر)

2024 نویسنده: Jason Gerald | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-15 08:13

کسر مختلط کسری است که در آن شمارنده ، مخرج یا هر دو نیز کسری دارند. به همین دلیل گاهی از کسرهای پیچیده "کسرهای روی هم" یاد می شود. ساده سازی کسرهای مختلط بسته به تعداد اعداد موجود در مخرج و مخرج ، اینکه آیا یکی از اعداد متغیر است یا پیچیدگی عدد متغیر می تواند آسان یا دشوار باشد. برای شروع به مرحله 1 زیر مراجعه کنید!

گام

روش 1 از 2: ساده سازی کسرهای مختلط با ضرب معکوس

مرحله 1. در صورت لزوم ، شمارنده و مخرج را به یک کسر ساده تبدیل کنید

حل کسرهای مختلط همیشه دشوار نیست. در حقیقت حل کسرهای پیچیده که شمارنده و مخرج آنها شامل یک کسر واحد است ، معمولاً بسیار آسان است. بنابراین ، اگر شمارنده یا مخرج (یا هر دو) یک کسر مختلط شامل کسرها یا کسرهای متعدد و یک عدد صحیح باشد ، آن را ساده کنید تا در کسر و مخرج یک کسر واحد به دست آید. کمترین ضرب مشترک (LCM) دو یا چند کسر را پیدا کنید.

• برای مثال ، فرض کنید می خواهیم کسر پیچیده (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10) را ساده کنیم. اول ، ما هم شمارنده و هم مخرج کسر پیچیده را به یک کسر ساده تبدیل می کنیم.

  • برای ساده سازی شمارنده ، از LCM 15 که با ضرب 3/5 در و 3/3 به دست می آید استفاده کنید. عدد 15/9/15 + 2/15 برابر 15/11 خواهد بود.
  • برای ساده کردن مخرج ، از نتیجه LCM 70 استفاده می کنیم که با ضرب 5/7 در 10/10 و 3/10 در 7/7 به دست می آید. مخرج 50/70 - 21/70 ، معادل 29/70 خواهد بود.
  • بنابراین ، کسر پیچیده جدید است (11/15)/(29/70).

مرحله 2. مخرج را معکوس کنید تا متقابل آن را بیابد

طبق تعریف ، تقسیم یک عدد بر دیگری برابر است با ضرب عدد اول بر عکس عدد دوم. اکنون که یک کسر مختلط با یک کسر واحد در هر دو صورت دهنده و مخرج داریم ، از این تقسیم برای ساده سازی کسر مختلط استفاده خواهیم کرد. ابتدا متقابل کسر را در انتهای کسر مختلط بیابید. این کار را با "وارونه کردن" کسر انجام دهید - قرار دادن شمارنده به جای مخرج و بالعکس.

• در مثال ما ، کسر مخرج کسر مختلط (15/11)/(70/29) 29/70 است. برای یافتن معکوس ، آن را "معکوس" می کنیم تا بدست آوریم 70/29.

  توجه داشته باشید که اگر کسری مختلط یک مخرج صحیح در مخرج داشته باشد ، می توانیم آن را به عنوان کسر در نظر بگیریم و متقابل آن را بیابیم. به عنوان مثال ، اگر کسر مختلط (11/15)/(29) باشد ، می توانیم مخرج را 29/1 قرار دهیم ، به این معنی که متقابل 1/29.

مرحله 3: شمارش کسر مختلط را در مخرج متقابل ضرب کنید

اکنون که متقابل مخرج کسر مختلط را بدست آورده ایم ، آن را در عدد ضرب کرده تا یک کسر ساده به دست آید. به یاد داشته باشید که برای ضرب دو کسر ، ما فقط ضرب را متقاطع می کنیم - عدد کسر جدید ، عدد شمارنده دو کسر قدیمی و همچنین مخرج است.

در مثال ما ، 11/15 × 70/29 را ضرب می کنیم. 11 70 70 = 770 و 15 × 29 = 435. بنابراین ، کسر ساده جدید است 770/435.

مرحله 4. با یافتن بزرگترین عامل مشترک ، کسر جدید را ساده کنید

ما در حال حاضر یک کسر ساده داریم ، بنابراین تنها کاری که باید انجام دهیم این است که به ساده ترین عدد برسیم. بزرگترین عامل مشترک (GCF) شمارنده و مخرج را پیدا کرده و هر دو را بر این عدد تقسیم کنید تا ساده شود.

یکی از عوامل مشترک 770 و 435 5 است. بنابراین ، اگر عدد و مخرج کسر را بر 5 تقسیم کنیم ، بدست می آید 154/87 به 154 و 87 هیچ فاکتور مشترکی ندارند ، بنابراین این پاسخ نهایی است!

روش 2 از 2: ساده سازی کسرهای پیچیده حاوی اعداد متغیر

مرحله 1. در صورت امکان ، از روش ضرب معکوس بالا استفاده کنید

برای واضح بودن ، تقریباً همه کسرهای پیچیده را می توان با تفریق کسر و مخرج بر کسر واحد و ضرب عدد در معکوس مخرج ساده کرد. کسرهای پیچیده حاوی متغیرها نیز شامل می شوند ، اگرچه هر چه بیان متغیرها در کسرهای پیچیده پیچیده تر باشد ، استفاده از ضرب معکوس دشوارتر و زمان برتر خواهد بود. برای کسرهای پیچیده "آسان" حاوی متغیرها ، ضرب معکوس یک انتخاب خوب است ، اما ساده شدن کسرهای مختلط با اعداد متغیر متعدد در مخرج و مخرج به روش جایگزین زیر آسان تر است.

• برای مثال ، ساده شدن (1/x)/(x/6) با ضرب معکوس آسان است. 1/x × 6/x = 6/x² به در اینجا نیازی به استفاده از روش های جایگزین نیست.
• با این حال ، ساده سازی (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) با ضرب معکوس دشوارتر است. کاهش شمارنده و مخرج کسرهای مختلط به کسرهای منفرد ، ضرب معکوس و کاهش نتیجه به ساده ترین اعداد می تواند فرآیند پیچیده ای باشد. در این مورد ، روش جایگزین زیر ممکن است آسان تر باشد.

مرحله 2. اگر ضرب معکوس عملی نیست ، با یافتن LCM عدد کسری در کسر مختلط شروع کنید

اولین قدم این است که LCM همه اعداد کسری را در کسر مختلط - هم در شمارنده و هم در مخرج پیدا کنیم. معمولاً اگر یک یا چند عدد کسری یک عدد در مخرج داشته باشند ، LCM عدد مخرج است.

درک این موضوع با یک مثال آسان تر است. بیایید سعی کنیم بخشهای پیچیده ذکر شده در بالا را ساده کنیم ، (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). اعداد کسری در این کسر مختلط عبارتند از (1)/(x+3) و (1)/(x-5). LCM دو کسر عدد مخرج است: (x+3) (x-5).

مرحله 3: عدد کسر مختلط را با LCM تازه یافت شده ضرب کنید

در مرحله بعد ، باید عدد موجود در کسر مختلط را در LCM عدد کسری ضرب کنیم. به عبارت دیگر ، همه کسرهای پیچیده را در (KPK)/(KPK) ضرب می کنیم. ما می توانیم این کار را به طور مستقل انجام دهیم زیرا (KPK)/(KPK) برابر 1 است. ابتدا خود اعداد را ضرب کنید.

• در مثال ما ، کسر پیچیده ، (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))) ، یعنی ((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5)). ما باید از طریق شمارنده و مخرج کسر مختلط ضرب کنیم و هر عدد را در (x + 3) (x-5) ضرب کنیم.

  • ابتدا اعداد را ضرب می کنیم: (((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)

    • = (((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x))² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2 برابر² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12 برابر² + 5x + 150
    • = ایکس³ - 12 برابر² +6x +145

مرحله 4. مخرج کسر مختلط را با LCM همانطور که با شمارنده ضرب می کنید ضرب کنید

با افزودن به مخرج ضرب پیچیده را با LCM پیدا کنید. ضرب همه ، ضرب هر عدد در LCM.

• مخرج کسر پیچیده ما ، (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) ، x +4 +((1) // (x-5)). ما آن را در LCM یافت شده ضرب می کنیم ، (x+3) (x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
  • = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5).
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2 برابر² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2 برابر² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = ایکس³ + 2 برابر² - 22x - 57

مرحله 5. یک کسر جدید و ساده شده از شمارنده و مخرج تازه پیدا شده ایجاد کنید

پس از ضرب کسر در (KPK)/(KPK) و ساده سازی آن با ترکیب اعداد ، نتیجه کسری ساده است که شامل عدد کسری نمی شود. توجه داشته باشید که با ضرب در LCM عدد کسری در کسر مختلط اصلی ، مخرج این کسر تمام می شود و عدد متغیر و عدد کامل را در عدد و مخرج پاسخ بدون هیچ کسری باقی می گذارد.

با شمارنده و مخرج موجود در بالا ، می توانیم کسری بسازیم که همان کسر مختلط اولیه است ، اما شامل عدد کسری نیست. عددی که بدست آمد x است³ - 12 برابر² + 6x + 145 و مخرجی که بدست آوردیم x بود³ + 2 برابر² - 22x - 57 ، بنابراین کسر جدید می شود (ایکس³ - 12 برابر² + 6x + 145)/(x³ + 2 برابر² - 22x - 57)

نکات

• هر مرحله از کار را نشان دهید. اگر مراحل بسیار سریع شمارش می شوند یا سعی می کنند این کار را به صورت قلبی انجام دهند ، کسرها می توانند گیج کننده باشند.
• نمونه هایی از کسرهای پیچیده را در اینترنت یا کتابها بیابید. هر مرحله را دنبال کنید تا بتوانید بر آن تسلط پیدا کنید.