3 راه برای محاسبه معادلات جبری

2024 نویسنده: Jason Gerald | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-15 08:13

در ریاضیات ، فاکتورگیری روشی برای یافتن اعداد یا عباراتی است که در صورت ضرب ، عدد یا معادله معینی تولید می شود. فاکتورگیری یک مهارت مفید برای یادگیری حل مسائل جبر ساده است. توانایی معیارهای خوب ، هنگام برخورد با معادلات درجه دوم و سایر اشکال چند جمله ای مهم می شود. از فاکتورگیری می توان برای ساده سازی عبارات جبری برای سهولت حل آنها استفاده کرد. فاکتورگیری حتی می تواند به شما این امکان را بدهد که پاسخهای احتمالی را خیلی سریعتر از حل دستی آنها حذف کنید.

گام

روش 1 از 3: محاسبه اعداد و عبارات ساده جبری

مرحله 1. وقتی از اعداد واحد استفاده می شود ، تعریف فاکتورینگ را درک کنید

فاکتورینگ یک مفهوم ساده است ، اما در عمل ، وقتی در معادلات پیچیده به کار گرفته شود ، می تواند چالش برانگیز باشد. بنابراین ، آسان ترین راه برای نزدیک شدن به مفهوم فاکتورینگ با شروع با اعداد ساده ، سپس ادامه معادلات ساده ، قبل از حرکت در نهایت به کاربردهای پیچیده تر است. عوامل یک عدد ، اعدادی هستند که در صورت ضرب ، عدد را تولید می کنند. به عنوان مثال ، عوامل 12 عبارتند از 1 ، 12 ، 2 ، 6 ، 3 و 4 ، زیرا 12 1 1 ، 6 2 2 و 4 3 3 برابر 12 است.

• راه دیگر برای اندیشیدن به آن این است که عوامل یک عدد اعدادی هستند که می توانند به طور مساوی به عدد تقسیم شوند.

• آیا می توانید همه عوامل عدد 60 را پیدا کنید؟ ما از عدد 60 برای اهداف مختلف (دقیقه در ساعت ، ثانیه در دقیقه و غیره) استفاده می کنیم زیرا می توان آن را بر تعداد زیادی از اعداد دیگر تقسیم کرد.

  عوامل 60 عبارتند از 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 10 ، 12 ، 15 ، 20 ، 30 و 60

مرحله 2. درک کنید که عبارات متغیر نیز می توانند در نظر گرفته شوند

همانطور که خود اعداد را می توان در نظر گرفت ، متغیرهایی با ضرایب اعداد نیز می توانند در نظر گرفته شوند. برای این کار کافی است عوامل ضرایب متغیر را بیابید. دانستن نحوه ضریب یک متغیر برای ساده سازی معادلات جبری شامل آن متغیر بسیار مفید است.

• به عنوان مثال ، متغیر 12x را می توان حاصل ضرب عوامل 12 و x نوشت. ما می توانیم 12x را به صورت 3 (4x) ، 2 (6x) و غیره بنویسیم ، با استفاده از هر کدام از عوامل 12 که برای اهداف ما مناسب است.

  ما حتی می توانیم 12 بار چندین بار فاکتور بگذاریم. به عبارت دیگر ، لازم نیست در 3 (4x) یا 2 (6x) متوقف شویم - ما می توانیم 4x و 6x را برای تولید 3 (2 (2x) و 2 (3 (2x) متوقف کنیم. البته ، این دو عبارت معادل هستند

مرحله 3. ویژگی توزیعی ضرب را در معادلات جبری ضریب اعمال کنید

با استفاده از دانش خود در مورد چگونگی ضرب هر دو عدد واحد و متغیرها با ضرایب ، می توانید معادلات جبری ساده را با یافتن عواملی که اعداد و متغیرها در معادلات جبری به اشتراک می گذارند ، ساده کنید. معمولاً برای ساده سازی یک معادله ، سعی می کنیم بزرگترین عامل مشترک را بیابیم. این فرآیند ساده سازی به دلیل ویژگی توزیعی ضرب ، که برای هر عدد a ، b و c صدق می کند ، امکان پذیر است. a (b + c) = ab + ac.

• بیایید یک نمونه سوال را امتحان کنیم. برای معادله جبری 12x + 6 ، ابتدا بیایید سعی کنیم بزرگترین عامل مشترک 12x را پیدا کنیم. 6. 6 بزرگترین عددی است که می تواند 12x و 6 را به طور مساوی تقسیم کند ، بنابراین می توانیم معادله را به 6 (2x + 1) ساده کنیم. به
• این فرایند در مورد معادلات با اعداد و کسرهای منفی نیز صدق می کند. به عنوان مثال ، x/2 + 4 ، می تواند به 1/2 (x + 8) ، و -7x + -21 را می توان به -7 (x + 3) در نظر گرفت.

روش 2 از 3: محاسبه معادلات درجه دوم

مرحله 1. مطمئن شوید که معادله به صورت درجه دوم است (ax² + bx + c = 0).

معادلات درجه دوم دارای محور هستند² + bx + c = 0 ، جایی که a ، b و c ثابت عدد هستند و برابر 0 نیستند (توجه داشته باشید که a می تواند برابر 1 یا -1 باشد). اگر معادله ای دارید که دارای یک متغیر است (x) که دارای یک عبارت x به توان دو یا بیشتر است ، معمولاً این عبارات را در معادله با استفاده از عملیات جبری ساده جابجا می کنید تا 0 را در دو طرف علامت و تابع معادل بدست آورید.²، و غیره. از طرف دیگر.

• برای مثال ، بیایید به یک معادله جبری فکر کنیم. 5 برابر² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 را می توان به x ساده کرد² + 6x + 9 = 0 ، که شکل مربع است.
• معادلات با قدرت بزرگتر x ، مانند x³، ایکس⁴، و غیره. معادلات درجه دو نیستند این معادلات معادلات مکعبی ، تا توان چهارم و غیره هستند ، مگر اینکه بتوان معادله را برای حذف این x عبارتی با توانهای بیشتر از 2 ساده کرد.

مرحله 2. در یک معادله درجه دوم ، که در آن a = 1 ، به (x+d) (x+e) ، جایی که d × e = c و d+e = b ، تبدیل کنید

اگر معادله درجه دوم شما به شکل x باشد² + bx + c = 0 (به عبارت دیگر ، اگر ضریب عبارت x باشد² = 1) ، ممکن است (اما تضمین نشده است) که از یک روش مختصر نگاری نسبتاً آسان برای معادله استفاده شود. دو عدد را پیدا کنید که در صورت ضرب c می دهند و برای تولید ب اضافه می شود. پس از جستجوی این دو عدد d و e ، آنها را در عبارت زیر قرار دهید: (x+d) (x+e) به این دو عبارت ، وقتی ضرب شوند ، معادله درجه دو را به شما می دهند - به عبارت دیگر ، آنها عوامل معادله درجه دوم شما هستند.

• برای مثال ، بیایید به معادله درجه دوم x فکر کنیم² + 5x + 6 = 0. 3 و 2 ضرب می شوند تا 6 داده شود و همچنین به 5 اضافه می شود ، بنابراین می توانیم این معادله را به (x + 3) (x + 2) ساده کنیم.

• تفاوت جزئی در این روش مختصر نویسی اساسی در تفاوت شباهت های خود است:

  • اگر معادله درجه دوم به صورت x باشد²-bx+c ، پاسخ شما به این شکل است: (x - _) (x - _).
  • اگر معادله به صورت x باشد²+ bx + c ، پاسخ شما به این شکل است: (x + _) (x + _).
  • اگر معادله به صورت x باشد²-bx -c ، پاسخ شما به شکل (x + _) (x -_) است.
• توجه: اعداد موجود در جاهای خالی می توانند کسری یا اعشاری باشند. به عنوان مثال ، معادله x² + (21/2) x + 5 = 0 در (x + 10) (x + 1/2) در نظر گرفته شده است.

مرحله 3. در صورت امکان ، از طریق بررسی ها اقدام کنید

باور کنید یا نه ، برای معادلات درجه دوم بدون عارضه ، یکی از روشهای مجاز فاکتورگیری این است که مشکل را بررسی کنید ، سپس پاسخهای احتمالی را در نظر بگیرید تا زمانی که پاسخ درست را پیدا کنید. این روش به عنوان فاکتورینگ از طریق معاینه نیز شناخته می شود. اگر معادله به صورت ax باشد²+bx +c و a> 1 ، پاسخ عاملی شما به شکل (dx +/- _) (ex +/- _) است ، جایی که d و e ثابت اعداد غیر صفر هستند که در صورت ضرب a می دهند. نه d و نه (یا هر دو) نمی توانند 1 باشند ، اگرچه لازم نیست که باشد. اگر هر دو 1 هستند ، اساساً از روش مختصر نویسی که در بالا توضیح داده شد استفاده می کنید.

بیایید به یک مشکل مثال فکر کنیم. 3x² - 8x + 4 در ابتدا دشوار به نظر می رسد. با این حال ، هنگامی که متوجه شدیم 3 فقط دو عامل (3 و 1) دارد ، این معادله آسان تر می شود زیرا می دانیم که پاسخ ما باید به شکل (3x +/- _) (x +/- _) باشد. در این حالت ، افزودن -2 به هر دو جای خالی پاسخ درست را می دهد. -2 × 3x = -6x و -2 × x = -2x. -6x و -2x تا -8x اضافه می شود. -2 × -2 = 4 ، بنابراین می توانیم ببینیم که عباراتی که در پرانتز ضرب می شوند هنگام ضرب معادله اصلی را تولید می کنند.

مرحله 4. با تکمیل مربع حل کنید

در برخی موارد ، معادلات درجه دوم را می توان به سرعت و به راحتی با استفاده از هویت های خاص جبری در نظر گرفت. هر معادله درجه دوم به شکل x² + 2xh + ساعت² = (x + h)²به بنابراین اگر در معادله شما مقدار b دو برابر ریشه مربع مقدار c شما باشد ، معادله شما را می توان به صورت (x + (ریشه (c)) در نظر گرفت².

به عنوان مثال ، معادله x² +6x+9 این شکل را دارد. 3² 9 است و 3 × 2 برابر 6 است. بنابراین ، ما می دانیم که شکل عاملی این معادله (x + 3) (x + 3) ، یا (x + 3) است².

مرحله 5. از عوامل برای حل معادلات درجه دوم استفاده کنید

صرف نظر از اینکه چگونه معادله درجه دوم خود را محاسبه کرده اید ، هنگامی که معادله محاسبه شد ، می توانید با محاسبه صفر هر عامل و حل آنها ، پاسخهای احتمالی به مقدار x را بیابید. از آنجا که شما به دنبال مقدار x هستید که معادله شما را برابر صفر می کند ، مقدار x که هر عاملی را برابر صفر می کند ، پاسخ احتمالی به معادله درجه دوم شما است.

برگردیم به معادله x² + 5x + 6 = 0. این معادله در (x + 3) (x + 2) = 0 در نظر گرفته شده است. اگر هر یک از عوامل برابر 0 باشد ، همه معادلات برابر 0 هستند ، بنابراین پاسخهای احتمالی ما برای x اعداد هستند- عددی که (x + 3) و (x + 2) برابر 0. این اعداد به ترتیب -3 و -2 هستند.

مرحله 6. پاسخ های خود را بررسی کنید - برخی از پاسخ ها ممکن است گمراه کننده باشند

هنگامی که پاسخ های احتمالی برای x را پیدا کردید ، آنها را دوباره به معادله اصلی خود وصل کنید تا ببینید آیا پاسخ درست است. گاهی اوقات ، پاسخ هایی که پیدا می کنید وقتی دوباره وارد می شوید معادله اصلی را برابر صفر نمی کند. ما این پاسخ را منحرف می نامیم و از آن چشم پوشی می کنیم.

• اجازه دهید -2 و -3 را در x قرار دهیم² + 5x + 6 = 0. ابتدا ، -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. این پاسخ صحیح است ، بنابراین -2 پاسخ صحیح است.

• حالا ، -3 را امتحان کنیم:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. این پاسخ نیز صحیح است ، بنابراین -3 پاسخ صحیح است.

روش 3 از 3: در نظر گرفتن معادلات دیگر

مرحله 1. اگر معادله به صورت a بیان شود²-ب²، در (a+b) (a-b) ضریب کنید.

معادلات دو متغیر دارای عوامل متفاوتی نسبت به معادله درجه دوم اساسی هستند. برای معادله a²-ب² هر چیزی که a و b برابر 0 نباشد ، عوامل معادله (a+b) (a-b) هستند.

به عنوان مثال ، معادله 9x² - 4 سال² = (3x + 2y) (3x - 2y).

مرحله 2. اگر معادله به صورت a بیان شود²+2ab+b²، عامل (a+b)².

توجه داشته باشید که اگر سه جمله ای از شکل a باشد²-2ab+b²، عوامل شکل کمی متفاوت هستند: (a-b)².

معادله 4 برابر² + 8xy + 4y² می تواند 4 برابر بازنویسی شود² + (2 × 2 × 2) xy + 4y²به اکنون ، می توانیم ببینیم که فرم صحیح است ، بنابراین می توانیم مطمئن باشیم که عوامل معادله ما (2x + 2y) هستند²

مرحله 3. اگر معادله به صورت a بیان شود³-ب³، عامل (a-b) (a²+ab+b²).

سرانجام ، قبلاً ذکر شد که معادلات مکعبی و حتی قدرتهای بالاتر را می توان در نظر گرفت ، اگرچه روند فاکتورگیری به سرعت بسیار پیچیده می شود.

به عنوان مثال ، 8 برابر³ - 27 سال³ (2x - 3y) (4x)² + ((2x) (3y)) + 9y²)

نکات

• آ²-ب² می توان در نظر گرفت ، الف²+ب² نمی توان در نظر گرفت
• به یاد داشته باشید که چگونه یک ثابت را فاکتور بگیرید. این ممکن است کمک کند.
• در فراکسیون فاکتور دهی مراقب کسرها باشید و با کسرها درست و با دقت کار کنید.
• اگر مثلثی از شکل x دارید²+ bx+ (b/2)²، فاکتور فرم (x+(b/2))²به (ممکن است هنگام تکمیل مربع با این وضعیت مواجه شوید.)
• به یاد داشته باشید که a0 = 0 (ویژگی حاصلضرب صفر).