6 راه برای ضریب چند جمله ای های درجه دوم (معادلات مربع)

2024 نویسنده: Jason Gerald | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-19 22:12

چند جمله ای شامل یک متغیر (x) با قدرت است که به عنوان درجه شناخته می شود و چندین عبارت و/یا ثابت. ضریب چند جمله ای به معنای تجزیه معادله به معادلات ساده تری است که می توان آنها را ضرب کرد. این مهارت در جبر 1 و بالاتر وجود دارد و اگر مهارت های ریاضی شما در این سطح نباشد ، درک آن دشوار است.

گام

شروع کنید

مرحله 1. معادله خود را تنظیم کنید

قالب استاندارد برای معادله درجه دوم عبارت است از:

تبر² + bx + c = 0

با سفارش شرایط در معادله خود از بالاترین تا کمترین قدرت ، درست مانند این قالب استاندارد ، شروع کنید. مثلا:

6 + 6 برابر² + 13x = 0

ما این معادله را مجدداً مرتب می کنیم به طوری که کار با آن به سادگی با جابجایی شرایط آسان تر می شود:

6 برابر² + 13x + 6 = 0

مرحله 2. با استفاده از یکی از روش های زیر ، فاکتور فرم را بیابید

با محاسبه نتایج چند جمله ای دو معادله ساده تر که می توان برای تولید چند جمله ای اصلی ضرب کرد:

6 برابر² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

در این مثال ، (2x + 3) و (3x + 2) عوامل معادله اصلی ، 6x هستند² +13x+6.

مرحله 3. کار خود را بررسی کنید

عواملی را که دارید ضرب کنید. سپس ، مانند اصطلاحات را ترکیب کنید و کار شما تمام شد. شروع کن با:

(2x + 3) (3x + 2)

بیایید سعی کنیم ، شرایط را با استفاده از PLDT (اول - خارج - داخل - آخرین) ضرب کنیم ، در نتیجه:

6 برابر² + 4x + 9x + 6

از اینجا ، ما می توانیم 4x و 9x را جمع کنیم زیرا آنها مانند اصطلاحات هستند. ما می دانیم که عوامل ما درست هستند زیرا معادله اصلی خود را بدست می آوریم:

6 برابر² + 13x + 6

روش 1 از 6: آزمایش و خطا

اگر چند جمله ای نسبتاً ساده دارید ، ممکن است خودتان فقط با نگاه کردن به عوامل بتوانید آنها را پیدا کنید. به عنوان مثال ، پس از تمرین ، بسیاری از ریاضیدانان می توانند بفهمند که معادله 4x است² + 4x + 1 دارای ضریب (2x + 1) و (2x + 1) فقط با نگاه مکرر به آن است. (البته این برای چند جمله ای های پیچیده آسان نخواهد بود). برای این مثال ، بیایید از یک معادله کمتر استفاده شده استفاده کنیم:

3x² + 2x - 8

مرحله 1. لیستی از عوامل عبارت a و term c بنویسید

با استفاده از قالب معادله ax² + bx + c = 0 ، عبارت a و c را مشخص کرده و عواملی را که هر دو عبارت دارند بنویسید. برای 3 برابر² + 2x - 8 ، یعنی:

a = 3 و دارای مجموعه ای از عوامل است: 1 * 3

c = -8 و دارای چهار مجموعه عوامل است: -2 * 4 ، -4 * 2 ، -8 * 1 و -1 * 8.

مرحله 2. دو مجموعه براکت با فاصله خالی بنویسید

جاهای خالی که ایجاد کرده اید را با ثابت برای هر معادله پر می کنید:

(x) (x)

مرحله 3. جاهای خالی مقابل x را با جفت فاکتورهای احتمالی برای مقدار a پر کنید

برای عبارت a در مثال ما ، 3x²، فقط یک مثال برای مثال ما وجود دارد:

(3x) (1x)

مرحله 4. دو جاي خالي بعد از x را با دو عامل براي ثابت پر كنيد

فرض کنید ما 8 و 1 را انتخاب می کنیم در آنها بنویسید:

(3x

مرحله 8)(

مرحله 1

مرحله 5. علامت (بعلاوه یا منهای) بین متغیر x و عدد را تعیین کنید

بسته به علائم موجود در معادله اصلی ، ممکن است بتوان علامت های ثابت را جستجو کرد. فرض کنید ما دو ثابت h و k را برای دو عامل خود فراخوانی می کنیم:

اگر تبر² + bx + c سپس (x + h) (x + k)

اگر تبر² - bx - c یا ax² + bx - c سپس (x - h) (x + k)

اگر تبر² - bx + c سپس (x - h) (x - k)

برای مثال ما ، 3x² + 2x - 8 ، علائم عبارتند از: (x - h) (x + k) ، که دو عامل به ما می دهد:

(3x + 8) و (x - 1)

مرحله 6. انتخاب های خود را با استفاده از اولین ضرب در آخرین ضرب (PLDT) آزمایش کنید

اولین آزمایش سریع این است که ببینید آیا میانگین حداقل مقدار صحیح را دارد یا خیر. اگر نه ، ممکن است عوامل c را اشتباه انتخاب کرده باشید. بیایید پاسخ خود را آزمایش کنیم:

(3x + 8) (x - 1)

با ضرب به دست می آوریم:

3x² - 3x + 8x - 8

با ساده کردن این معادله با افزودن عبارات مشابه (-3x) و (8x) ، بدست می آوریم:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

اکنون می دانیم که باید از عوامل اشتباه استفاده کرده باشیم:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

مرحله 7. در صورت نیاز انتخاب خود را تغییر دهید

در مثال ما ، اجازه دهید 2 و 4 را به جای 1 و 8 امتحان کنیم:

(3x + 2) (x - 4)

در حال حاضر عبارت c ما -8 است ، اما محصول خارج/داخل ما (3x * -4) و (2 * x) -12x و 2x است ، که در مجموع عبارت b +2x صحیح را تولید نمی کند.

-12x + 2x = 10x

10x 2x

مرحله 8. در صورت لزوم سفارش را معکوس کنید

بیایید 2 و 4 را عوض کنیم:

(3x + 4) (x - 2)

در حال حاضر ، عبارت c ما (4 * 2 = 8) درست است ، اما محصول بیرونی/داخلی -6x و 4x است. اگر آنها را ترکیب کنیم:

-6x + 4x = 2x

2x -2x ما تقریباً به 2x مورد نظر خود نزدیک هستیم ، اما علامت اشتباه است.

مرحله 9. در صورت نیاز برچسب های خود را دوباره بررسی کنید

ما از همان ترتیب استفاده می کنیم ، اما معادلاتی را که دارای علامت منفی هستند جایگزین می کنیم:

(3x - 4) (x + 2)

در حال حاضر عبارت c هیچ مشکلی ندارد و محصول خارجی/داخلی فعلی (6x) و (-4x) است. زیرا:

6x - 4x = 2x

2x = 2x اکنون می توانیم از 2x مثبت مشکل اصلی استفاده کنیم. اینها باید عوامل درستی باشند.

روش 2 از 6: تجزیه

این روش همه عوامل احتمالی عبارت a و c را شناسایی کرده و از آنها برای یافتن عوامل صحیح استفاده می کند. اگر اعداد خیلی بزرگ هستند یا حدس زدن وقت گیر به نظر می رسد ، از این روش استفاده کنید. بیایید از یک مثال استفاده کنیم:

6 برابر² + 13x + 6

مرحله 1. عبارت a را با عبارت c ضرب کنید

در این مثال ، a 6 و c نیز 6 است.

6 * 6 = 36

مرحله 2. با در نظر گرفتن و آزمایش عبارت b را بدست آورید

ما به دنبال دو عدد هستیم که عوامل محصول a * c هستند که ما شناسایی کرده ایم و همچنین به عبارت b اضافه می شوند (13).

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

مرحله 3. دو عددی را که در نتیجه افزودن عبارت b وارد معادله خود شده اید جایگزین کنید

بیایید از k و h برای نشان دادن دو عدد 4 و 9 استفاده کنیم:

تبر² + kx + hx + c

6 برابر² + 4x + 9x + 6

مرحله 4. چند جمله ای را با گروه بندی فاکتور بگیرید

معادلات را طوری ترتیب دهید که بتوانید بزرگترین عامل مشترک هر دو عبارت اول و دوم را در نظر بگیرید. گروه عوامل باید یکسان باشد. بزرگترین عامل مشترک را اضافه کنید و آن را در پرانتز در کنار گروه عامل قرار دهید. نتیجه دو عامل شماست:

6 برابر² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

روش 3 از 6: بازی سه گانه

مشابه روش تجزیه ، روش سه گانه عوامل احتمالی ضرب عبارت a و c و استفاده از مقدار b را بررسی می کند. سعی کنید از این معادله مثال استفاده کنید:

8 برابر² + 10x + 2

مرحله 1. عبارت a را با عبارت c ضرب کنید

مانند روش تجزیه ، این به ما در شناسایی نامزدهای دوره b کمک می کند. در این مثال ، a 8 و c 2 است.

8 * 2 = 16

مرحله 2. دو عدد را بیابید که با ضرب در اعداد ، این عدد را با مجموع کل برابر عبارت b تولید کنند

این مرحله همان تجزیه است - ما داوطلبان را برای ثابت آزمایش می کنیم و کنار می گذاریم. حاصلضرب عبارت a و c 16 و عبارت c 10 است:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

مرحله 3. این دو عدد را بگیرید و با اتصال آنها به فرمول سه بازی آنها را آزمایش کنید

دو عدد ما را از مرحله قبل بردارید - بیایید آنها را h و k صدا کنیم - و آنها را به معادله وصل کنید:

((ax + h) (ax + k))/ a

به دست خواهیم آورد:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

مرحله 4. توجه داشته باشید که آیا هر یک از دو عبارت موجود در عدد بر a قابل تقسیم هستند

در این مثال ، دیدیم که (8x + 8) یا (8x + 2) بر 8 بخش پذیر است (8x + 8) بر 8 بخش پذیر است ، بنابراین این عبارت را بر a تقسیم کرده و سایر عوامل را تنها می گذاریم.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

عبارت داخل پرانتز در اینجا چیزی است که بعد از تقسیم بر عبارت a باقی می ماند.

مرحله 5. بزرگترین عامل مشترک (GCF) را از یک یا هر دو عبارت ، در صورت وجود ، در نظر بگیرید

در این مثال ، عبارت دوم دارای GCF 2 است ، زیرا 8x + 2 = 2 (4x + 1). این نتیجه را با عبارتی که از مرحله قبل گرفتید ترکیب کنید. اینها عوامل معادله شما هستند.

2 (x + 1) (4x + 1)

روش 4 از 6: تفاوت ریشه های مربعی

برخی ضرایب در چند جمله ای ها می توانند "مربع" یا حاصلضرب دو عدد باشند. شناسایی این مربع ها به شما امکان می دهد چند جمله ای را سریعتر فاکتور بگیرید. این معادله را امتحان کنید:

27 برابر² - 12 = 0

مرحله 1. در صورت امکان بزرگترین عامل مشترک را بردارید

در این حالت ، ما می توانیم ببینیم که 27 و 12 بر 3 بخش پذیر هستند ، بنابراین بدست می آوریم:

27 برابر² - 12 = 3 (9x² - 4)

مرحله 2. تشخیص دهید که آیا ضرایب معادله شما اعداد مربعی هستند

برای استفاده از این روش ، باید بتوانید ریشه مربع هر دو اصطلاح را بگیرید. (توجه داشته باشید که علامت منفی را نادیده می گیریم - چون این اعداد مربع هستند می توانند حاصلضرب دو عدد مثبت یا منفی باشند)

9 برابر² = 3x * 3x و 4 = 2 * 2

مرحله 3. با استفاده از ریشه مربعی که بدست آورده اید ، عوامل را بنویسید

مقادیر a و c را از مرحله بالا - a = 9 و c = 4 می گیریم ، سپس ریشه مربع را پیدا می کنیم - a = 3 و c = 2. نتیجه ضریب معادله عامل است:

27 برابر² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

روش 5 از 6: فرمول درجه دوم

اگر همه موارد دیگر شکست خورد و معادله را نمی توان به طور کامل در نظر گرفت ، از فرمول درجه دوم استفاده کنید. این مثال را امتحان کنید:

ایکس² + 4x + 1 = 0

مرحله 1. مقادیر مورد نیاز را در فرمول درجه دوم وارد کنید:

x = -b ± (ب² - 4ac)

2a

ما معادله را بدست می آوریم:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

مرحله 2. مقدار x را بیابید

دو مقدار دریافت خواهید کرد. همانطور که در بالا نشان داده شد ، ما دو پاسخ داریم:

x = -2 + (3) یا x = -2 -(3)

مرحله 3. از مقدار x خود برای یافتن عوامل استفاده کنید

مقادیر x را که در دو معادله چند جمله ای به عنوان ثابت قرار داده اید ، وصل کنید. نتیجه عوامل شما هستند. اگر پاسخ های خود را h و k بنامیم ، دو عامل را به شرح زیر می نویسیم:

(x - h) (x - k)

در این مثال ، پاسخ نهایی ما این است:

(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))

روش 6 از 6: با استفاده از ماشین حساب

اگر مجاز به استفاده از ماشین حساب هستید ، یک ماشین حساب نمودار ، فرایند فاکتوردهی را بسیار ساده تر می کند ، به ویژه برای آزمون های استاندارد. این دستورالعمل ها برای ماشین حساب نمودار TI است. ما از یک معادله مثال استفاده می کنیم:

y = x² x 2

مرحله 1. معادله خود را وارد ماشین حساب کنید

از فاکتورگیری معادله استفاده می کنید ، که روی صفحه [Y =] نوشته شده است.

مرحله 2. معادله خود را با استفاده از ماشین حساب نمودار کنید

وقتی معادله خود را وارد کردید ، [GRAPH] را فشار دهید - یک منحنی صاف را مشاهده می کنید که معادله شما را نشان می دهد (و شکل یک منحنی است زیرا ما از چند جمله ای استفاده می کنیم).

مرحله 3. محل تلاقی منحنی با محور x را بیابید

از آنجا که معادلات چند جمله ای معمولاً به صورت ax نوشته می شوند² + bx + c = 0 ، این تقاطع مقدار دوم x است که باعث می شود معادله صفر شود:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1 ، x = 2

اگر نمی توانید محل مشاهده نمودار با محور x را با مشاهده آن ، [2] و سپس [TRACE] را فشار دهید. [2] را فشار دهید یا صفر را انتخاب کنید. مکان نما را به سمت چپ تقاطع منتقل کرده و [ENTER] را فشار دهید. مکان نما را به سمت راست تقاطع منتقل کرده و [ENTER] را فشار دهید. مکان نما را تا آنجا که ممکن است به تقاطع نزدیک کنید و [ENTER] را فشار دهید. ماشین حساب مقدار x را پیدا می کند. این کار را برای تقاطع های دیگر نیز انجام دهید

مرحله 4. مقدار x بدست آمده از مرحله قبل را به دو معادله فاکتوریل وصل کنید

اگر هر دو مقدار x خود را h و k نامگذاری کنیم ، معادلاتی که استفاده می کنیم عبارتند از:

(x - h) (x - k) = 0

بنابراین ، دو عامل ما عبارتند از:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

نکات

• اگر ماشین حساب (نمودار) TI-84 دارید ، برنامه ای به نام SOLVER وجود دارد که معادلات درجه دوم شما را حل می کند. این برنامه چند جمله ای از هر درجه را حل می کند.
• اگر یک عبارت نوشته نشده باشد ، ضریب آن 0 است. در این صورت بازنویسی معادله مفید است ، به عنوان مثال: x² + 6 = x² +0x+6.
• اگر چند جمله ای خود را با استفاده از فرمول درجه دوم در نظر گرفته اید و از نظر ریشه به جواب رسیده اید ، ممکن است بخواهید برای بررسی مقدار x را به کسری تبدیل کنید.
• اگر یک عبارت فاقد ضریب نوشتاری باشد ، ضریب 1 است ، به عنوان مثال: x² = 1 برابر².
• پس از تمرین کافی ، در نهایت می توانید چند جمله ای را در سر خود قرار دهید. تا زمانی که نتوانستید این کار را انجام دهید ، مطمئن شوید که همیشه نحوه انجام آن را یادداشت کنید.