معادله درجه دوم معادله ای است که بالاترین درجه آن 2 (مربع) است. سه راه اصلی برای حل معادله درجه دوم وجود دارد: در صورت امکان معادله درجه دوم را محاسبه کنید ، با استفاده از فرمول درجه دوم یا تکمیل مربع. اگر می خواهید بر این سه روش مسلط شوید ، این مراحل را دنبال کنید.
گام
روش 1 از 3: معادلات فاکتورگیری
مرحله 1. همه متغیرهای مساوی را ترکیب کرده و آنها را به یک سمت معادله منتقل کنید
اولین قدم برای محاسبه معادله این است که همه متغیرهای مساوی را به یک طرف معادله با x منتقل کنید2مثبت است برای ترکیب متغیرها ، همه متغیرها را اضافه یا تفریق کنید2 ، x و ثابت (اعداد صحیح) ، آنها را به طرف دیگر معادله منتقل کنید تا چیزی در طرف دیگر باقی نماند. وقتی طرف دیگر هیچ متغیری باقی نگذاشت ، یک عدد 0 را در کنار علامت مساوی بنویسید. در اینجا نحوه انجام آن آمده است:
- 2 برابر2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2 برابر2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
مرحله 2. این معادله را در نظر بگیرید
برای ضریب این معادله ، باید از عامل x استفاده کنید2 (3) و ضریب ثابت (-4) ، آنها را ضرب کرده و به تناسب متغیر در وسط ، (-11) اضافه می کنیم. در اینجا نحوه انجام آن آمده است:
- 3x2 فقط یک عامل ممکن دارد که 3x و x است ، می توانید آنها را در پرانتز بنویسید: (3x +/-؟) (x +/-؟) = 0.
- سپس ، از روش حذف برای ضریب 4 استفاده کنید تا محصولی را که 11 -بازده دارد را بیابید. می توانید از ضرب 4 و 1 ، یا 2 و 2 استفاده کنید ، زیرا وقتی هر دو را ضرب کنید 4 را بدست می آورید ، اما به یاد داشته باشید که یکی از اعداد باید منفی باشد زیرا نتیجه -4 است.
- سعی کنید (3x + 1) (x - 4). وقتی آن را ضرب کنید ، نتیجه این است - 3x2 -12x +x -4. اگر متغیرهای -12 x و x را با هم ترکیب کنید ، نتیجه -11x است که مقدار میانی شما است. شما فقط یک معادله درجه دوم را محاسبه کرده اید.
- برای مثال ، بیایید محصول دیگر را فاکتور بگیریم: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. اگر متغیرها را با هم ترکیب کنید ، نتیجه 3x است2 -4x -4. حتی اگر عوامل -2 و 2 هنگام ضرب -4 تولید شود ، میانگین یکسان نیست زیرا می خواهید به جای -4x مقدار -11x بدست آورید.
مرحله 3. فرض کنید که هر پرانتز در یک معادله متفاوت صفر است
این به شما اجازه می دهد 2 x مقدار پیدا کنید که معادله شما را صفر می کند. شما معادله خود را در نظر گرفته اید ، بنابراین تنها کاری که باید انجام دهید این است که فرض کنید محاسبه در هر پرانتز برابر صفر است. بنابراین ، می توانید 3x + 1 = 0 و x - 4 = 0 بنویسید.
مرحله 4. هر معادله را جداگانه حل کنید
در یک معادله درجه دوم ، 2 مقدار برای x وجود دارد. با جابجایی متغیرها و نوشتن 2 پاسخ برای x ، هر معادله را جداگانه حل کنید ، مانند این:
-
3x + 1 = 0 را حل کنید
- 3x = -1….. با تفریق
- 3x/3 = -1/3….. با تقسیم
- x = -1/3….. با ساده سازی
-
x - 4 = 0 را حل کنید
x = 4….. با تفریق
- x = (-1/3 ، 4)….. با جدا کردن چندین پاسخ احتمالی ، به این معنی که x = -1/3 یا x = 4 هر دو ممکن است درست باشند.
مرحله 5. x = -1/3 (3x + 1) (x -4) = 0 را بررسی کنید:
بنابراین (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)؟ =؟ 0….. با جایگزینی (-1 + 1) (-4 1/3)؟ =؟ 0….. با ساده کردن (0) (-4 1/3) = 0….. با ضرب در نتیجه ، 0 = 0….. بله ، x = -1/3 درست است.
مرحله 6. x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0 را بررسی کنید:
بنابراین (3 [4] + 1) ([4] - 4)؟ =؟ 0….. با جایگزینی (13) (4 - 4)؟ =؟ 0….. با ساده سازی (13) (0) = 0….. با ضرب بنابراین ، 0 = 0….. بله ، x = 4 نیز صادق است.
بنابراین ، پس از بررسی جداگانه ، هر دو پاسخ صحیح هستند و می توانند در معادلات استفاده شوند
روش 2 از 3: استفاده از فرمول درجه دوم
مرحله 1. همه متغیرهای مساوی را ترکیب کرده و آنها را به یک سمت معادله منتقل کنید
همه متغیرها را به یک طرف معادله ، با مقدار متغیر x منتقل کنید2 مثبت متغیرها را با نماهای متوالی بنویسید تا x2 ابتدا نوشته می شود ، پس از آن متغیرها و ثابت ها قرار می گیرند. در اینجا نحوه انجام آن آمده است:
- 4 برابر2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4 برابر2 - ایکس2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
مرحله 2. فرمول درجه دوم را بنویسید
فرمول درجه دوم این است: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
مرحله 3. مقادیر a ، b و c را از معادله درجه دوم تعیین کنید
متغیر a ضریب x است2، b ضریب متغیر x و c یک ثابت است. برای معادله 3x2 -5x -8 = 0 ، a = 3 ، b = -5 و c = -8. هر سه را بنویسید.
مرحله 4. مقادیر a ، b و c را در معادله جایگزین کنید
هنگامی که سه مقدار متغیر را شناختید ، آنها را به معادله ای مانند این وصل کنید:
- {-b +/- √ (متولد2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
مرحله 5. محاسبات را انجام دهید
هنگامی که اعداد را وارد کردید ، برای ساده سازی علامت مثبت یا منفی ، ضرب یا مربع کردن متغیرهای باقی مانده ریاضیات را انجام دهید. در اینجا نحوه انجام آن آمده است:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
مرحله 6. ریشه مربع را ساده کنید
اگر عدد زیر ریشه مربع یک مربع کامل باشد ، یک عدد کامل به دست می آورید. اگر عدد یک مربع کامل نیست ، ساده ترین شکل ریشه را ساده کنید. اگر عدد منفی است و معتقدید که باید منفی باشد ، مقدار ریشه پیچیده می شود. در این مثال ، (121) = 11. می توانید x = (5 +/- 11)/6 را بنویسید.
مرحله 7. به دنبال پاسخ های مثبت و منفی باشید
هنگامی که علامت مربع را حذف کردید ، می توانید برای پیدا کردن یک نتیجه مثبت و منفی برای x تلاش کنید. اکنون که (5 +/- 11)/6 دارید ، می توانید 2 پاسخ بنویسید:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
مرحله 8. پاسخهای مثبت و منفی را تکمیل کنید
انجام محاسبات ریاضی:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
مرحله 9. ساده سازی کنید
برای ساده سازی هر پاسخ ، تقسیم بر بزرگترین عددی که می تواند هر دو عدد را تقسیم کند. کسر اول را بر 2 تقسیم کنید و بخش دوم را بر 6 تقسیم کنید و مقدار x را پیدا کرده اید.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1 ، 8/3)
روش 3 از 3: مربع را کامل کنید
مرحله 1. همه متغیرها را به یک طرف معادله منتقل کنید
مطمئن شوید که a یا متغیر x باشد2 مثبت در اینجا نحوه انجام آن آمده است:
- 2 برابر2 - 9 = 12x =
-
2 برابر2 - 12x - 9 = 0
در این معادله ، متغیر a 2 ، متغیر b 12- و متغیر c 9- است
مرحله 2. متغیر یا ثابت c را به طرف دیگر منتقل کنید
ثابت ها اصطلاحات عددی بدون متغیر هستند. به سمت راست معادله بروید:
- 2 برابر2 - 12x - 9 = 0
- 2 برابر2 - 12x = 9
مرحله 3. هر دو طرف را با ضریب a یا متغیر x تقسیم کنید2.
اگر x2 متغیر ندارد و ضریب آن 1 است ، می توانید از این مرحله بگذرید. در این حالت ، شما باید همه متغیرها را بر 2 تقسیم کنید ، مانند این:
- 2 برابر2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- ایکس2 - 6x = 9/2
مرحله 4. b را بر 2 تقسیم کنید ، آن را مربع کنید و نتیجه را به دو طرف اضافه کنید
مقدار b در این مثال -6 است. در اینجا نحوه انجام آن آمده است:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- ایکس2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
مرحله 5. هر دو طرف را ساده کنید
برای به دست آوردن (x-3) (x-3) یا (x-3) متغیر سمت چپ را فاکتور بگیرید2به مقادیر را به راست اضافه کنید تا 9/2 + 9 یا 9/2 + 18/2 را که 27/2 است بدست آورید.
مرحله 6. ریشه مربع را برای هر دو طرف پیدا کنید
ریشه مربع (x-3)2 (x-3) است. می توانید ریشه مربع 27/2 را به صورت write write (27/2) بنویسید. بنابراین ، x - 3 = ± √ (27/2).
مرحله 7. ریشه ها را ساده کرده و مقدار x را بیابید
برای ساده سازی ± √ (27/2) ، مربع مناسب بین اعداد 27 و 2 را پیدا کنید یا آن عدد را فاکتور بگیرید. مربع کامل 9 را می توان در 27 یافت زیرا 9 x 3 = 27. برای بیرون آوردن 9 از ریشه مربع ، 9 را از ریشه بردارید و 3 ، ریشه مربع ، خارج از ریشه مربع بنویسید. باقی مانده 3 را در عدد کسر زیر ریشه مربع بگذارید ، زیرا 27 همه عوامل را تحت تأثیر قرار نمی دهد و 2 را در زیر بنویسید. سپس ، ثابت 3 را در سمت چپ معادله به راست حرکت دهید و دو راه حل خود را برای x بنویسید:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
نکات
- همانطور که می بینید ، علائم ریشه به طور کامل ناپدید نمی شوند. بنابراین ، متغیرهای شمارنده نمی توانند ترکیب شوند (زیرا مساوی نیستند). تفکیک آن به مثبت یا منفی فایده ای ندارد. با این حال ، ما می توانیم آن را بر همان عامل تقسیم کنیم ، اما فقط اگر عوامل برای هر دو ثابت یکسان باشد و ضریب ریشه
- اگر عدد زیر ریشه مربع یک مربع کامل نیست ، چند مرحله آخر کمی متفاوت است. در اینجا مثالی آورده شده است:
- اگر b یک عدد زوج باشد ، فرمول می شود: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
