در "سیستم معادلات" ، از شما خواسته می شود که دو یا چند معادله را همزمان حل کنید. وقتی دو معادله دارای دو متغیر متفاوت باشند ، برای مثال x و y ، ممکن است در ابتدا راه حل مشکل به نظر برسد. خوشبختانه ، وقتی می دانید که باید چه کار کنید ، می توانید به سادگی از مهارت های جبری خود (و علم محاسبه کسرها) برای حل مسئله استفاده کنید. همچنین یاد بگیرید که چگونه این دو معادله را ترسیم کنید اگر یادگیرنده بصری هستید یا از معلم خواسته اید. نقاشی ها به شما کمک می کند تا موضوع را شناسایی کرده یا نتایج کار خود را بررسی کنید. با این حال ، این روش کندتر از روش های دیگر است و نمی تواند برای همه سیستم های معادلات استفاده شود.
گام
روش 1 از 3: استفاده از روش جایگزینی
مرحله 1. متغیرها را به طرف مقابل معادله منتقل کنید
روش جایگزینی با "یافتن مقدار x" (یا هر متغیر دیگر) در یکی از معادلات شروع می شود. برای مثال ، فرض کنید معادله مسئله این است 4x + 2y = 8 و 5x + 3y = 9 به کار را با معادله اول شروع کنید. با کم کردن 2y در هر دو طرف ، معادله را دوباره مرتب کنید. بنابراین ، شما دریافت می کنید 4x = 8 - 2y.
این روش اغلب از کسرها در انتها استفاده می کند. اگر شمارش کسر را دوست ندارید ، روش حذف زیر را امتحان کنید
مرحله 2. دو طرف معادله را برای "یافتن مقدار x" تقسیم کنید
هنگامی که عبارت x (یا هر متغیری که استفاده می کنید) در یک طرف معادله قرار گرفت ، هر دو طرف معادله را بر ضرایب تقسیم کنید تا فقط متغیر باقی بماند. به عنوان مثال:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
مرحله 3. مقدار x را از معادله اول به معادله دوم وصل کنید
مطمئن شوید که آن را به معادله دوم وصل کرده اید ، به جای معادله ای که به تازگی روی آن کار کرده اید. متغیر x را در معادله دوم جایگزین (جایگزین) کنید. بنابراین ، معادله دوم اکنون فقط یک متغیر دارد. به عنوان مثال:
- شناخته شده است x = 2 - y.
- معادله دوم شما این است 5x + 3y = 9.
- پس از تعویض متغیر x در معادله دوم با مقدار x از معادله اول ، "2 - y" را دریافت می کنیم: 5 (2 - y) + 3y = 9.
مرحله 4. بقیه متغیرها را حل کنید
در حال حاضر ، معادله شما فقط یک متغیر دارد. معادله را با عملیات جبری معمولی محاسبه کنید تا مقدار متغیر را بیابید. اگر دو متغیر یکدیگر را لغو کردند ، مستقیماً به آخرین مرحله بروید. در غیر اینصورت برای یکی از متغیرها مقدار دریافت می کنید:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (اگر این مرحله را درک نمی کنید ، نحوه اضافه کردن کسر را بیاموزید.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
مرحله 5. از جواب بدست آمده برای پیدا کردن مقدار واقعی x در معادله اول استفاده کنید
هنوز متوقف نشوید زیرا محاسبات شما هنوز انجام نشده است. برای یافتن مقدار متغیرهای باقی مانده ، باید جواب بدست آمده را به معادله اول وصل کنید:
- شناخته شده است y = -2
- یکی از معادلات معادله اول این است 4x + 2y = 8 به (می توانید از هر کدام استفاده کنید.)
- متغیر y را با -2 جایگزین کنید: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
مرحله 6. بدانید اگر دو متغیر یکدیگر را لغو کنند چه باید بکنید
وقتی وارد می شوید x = 3y+2 یا پاسخی مشابه به معادله دوم ، بدین معنا که شما سعی می کنید معادله ای را بدست آورید که فقط یک متغیر داشته باشد. گاهی اوقات ، شما فقط معادله را دریافت می کنید بدون متغیر. کار خود را دوبار بررسی کنید و مطمئن شوید که به جای بازگشت به معادله اول ، معادله یک را در معادله دو قرار داده اید (دوباره مرتب شده است). وقتی مطمئن شدید که کار اشتباهی انجام نداده اید ، یکی از نتایج زیر را بنویسید:
- اگر معادله هیچ متغیری نداشته باشد و درست نباشد (برای مثال 3 = 5) ، این مشکل وجود دارد جوابی ندارند به (هنگامی که این مورد رسم می شود ، این دو معادله موازی هستند و هرگز به هم نمی رسند.)
- اگر معادله متغیر نداشته باشد و درست ، (به عنوان مثال 3 = 3) ، به این معنی که سوال دارد پاسخ نامحدود به معادله یک دقیقاً همان معادله دو است. (هنگام رسم ، این دو معادله یک خط هستند.)
روش 2 از 3: استفاده از روش حذف
مرحله 1. متغیرهای متقابل منحصر به فرد را بیابید
گاهی اوقات ، معادله در مسئله از قبل وجود دارد یکدیگر را لغو کنند وقتی جمع می شود به عنوان مثال ، اگر معادله را انجام دهید 3x + 2y = 11 و 5x - 2y = 13 ، اصطلاحات "+2y" و "-2y" یکدیگر را لغو کرده و متغیر "y" را از معادله حذف می کند. به معادله در مسئله نگاه کنید و ببینید آیا متغیرهایی وجود دارند که یکدیگر را لغو می کنند ، مانند مثال. اگر نه ، به مرحله بعد بروید.
مرحله 2. معادله را در یک ضرب کنید تا یک متغیر حذف شود
(اگر متغیرها قبلاً یکدیگر را لغو کرده اند این مرحله را رد کنید.) اگر معادله دارای متغیرهایی نیست که خود به خود لغو می شوند ، یکی از معادلات را تغییر دهید تا بتوانند یکدیگر را لغو کنند. به مثالهای زیر توجه کنید تا بتوانید به راحتی آنها را درک کنید:
- معادلات موجود در مسئله عبارتند از: 3x - y = 3 و - x + 2y = 4.
- بیایید معادله اول را طوری تغییر دهیم که متغیر y یکدیگر را لغو کنند (می توانید از متغیر استفاده کنید ایکس به پاسخ نهایی بدست آمده یکسان خواهد بود.)
- متغیر - y در معادله اول باید حذف شود + 2y در معادله دوم چگونه ، ضرب کنید - y با 2
- هر دو طرف معادله را در 2 ضرب کنید ، به شرح زیر: 2 (3x - y) = 2 (3) ، بنابراین 6x - 2y = 6 به حالا قبیله - 2 سال یکدیگر را لغو خواهند کرد با +2y در معادله دوم
مرحله 3. دو معادله را با هم ترکیب کنید
ترفند این است که سمت راست معادله اول را به سمت راست معادله دوم اضافه کنید ، و سمت چپ معادله اول را به سمت چپ معادله دوم اضافه کنید. اگر به درستی انجام شود ، یکی از متغیرها یکدیگر را لغو می کند. بیایید سعی کنیم محاسبه مثال قبلی را ادامه دهیم:
- دو معادله شما عبارتند از: 6x - 2y = 6 و - x + 2y = 4.
- سمت چپ دو معادله را جمع کنید: 6x - 2y - x + 2y =؟
- سمت راست دو معادله را جمع کنید: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
مرحله 4. آخرین مقدار متغیر را بدست آورید
معادله مرکب خود را ساده کرده و با جبر استاندارد کار کنید تا مقدار آخرین متغیر را بدست آورید. اگر بعد از ساده سازی ، معادله متغیر نداشت ، به آخرین مرحله در این قسمت ادامه دهید.
در غیر این صورت ، برای یکی از متغیرها مقداری دریافت خواهید کرد. به عنوان مثال:
- شناخته شده است 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- متغیرهای گروهی ایکس و y با یکدیگر: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- معادله را ساده کنید: 5x = 10
- مقدار x را پیدا کنید: (5x)/5 = 10/5 ، بدست آوردن x = 2.
مرحله 5. مقدار یک متغیر دیگر را بیابید
شما مقدار یک متغیر را پیدا کرده اید ، اما متغیر دیگر چطور؟ پاسخ خود را به یکی از معادلات وصل کنید تا مقدار متغیر باقی مانده را بیابید. به عنوان مثال:
- شناخته شده است x = 2 ، و یکی از معادلات مسئله این است 3x - y = 3.
- متغیر x را با 2 جایگزین کنید: 3 (2) - y = 3.
- مقدار y را در معادله بیابید: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y ، بنابراین 6 = 3 + y
- 3 = y
مرحله 6. بدانید وقتی دو متغیر یکدیگر را لغو می کنند چه باید بکنید
گاهی اوقات ، ترکیب دو معادله منجر به معادله ای می شود که منطقی نیست یا به حل مشکل کمک نمی کند. کار خود را مرور کنید و اگر مطمئن هستید که اشتباه نکرده اید ، یکی از دو پاسخ زیر را بنویسید:
- اگر معادله ترکیبی هیچ متغیری نداشته باشد و درست نباشد (برای مثال ، 7 = 2) ، این مشکل وجود دارد جوابی ندارند به این پاسخ در مورد هر دو معادله صدق می کند. (هنگامی که این مورد تجزیه و تحلیل می شود ، این دو معادله موازی هستند و هرگز به هم نمی رسند.)
- اگر معادله ترکیبی هیچ متغیری نداشته باشد و درست ، (به عنوان مثال 0 = 0) ، به این معنی که سوال دارد پاسخ نامحدود به این دو معادله مشابه یکدیگر هستند. (هنگام رسم ، این دو معادله یک خط هستند.)
روش 3 از 3: رسم نمودار معادلات
مرحله 1. این روش را فقط در صورت آموزش انجام دهید
مگر اینکه از رایانه یا ماشین حساب نمودار استفاده می کنید ، این روش فقط می تواند پاسخ های تقریبی ارائه دهد. ممکن است معلم یا کتاب درسی شما به شما بگوید که از این روش برای عادت رسم معادلات به عنوان خط استفاده کنید. این روش همچنین می تواند برای بررسی پاسخ یکی از روشهای بالا مورد استفاده قرار گیرد.
ایده اصلی این است که شما باید دو معادله را توصیف کرده و نقطه تلاقی آنها را بیابید. مقدار x و y در این نقطه تقاطع ، جواب مسئله است
مرحله 2. مقادیر y هر دو معادله را بیابید
دو معادله را با هم ترکیب نکنید و هر معادله را طوری تغییر دهید که قالب "y = _x + _" باشد. به عنوان مثال:
- اولین معادله شما این است 2x + y = 5 به تغییر به y = -2x + 5.
- اولین معادله شما این است - 3x + 6y = 0 به تغییر به 6y = 3x + 0 ، و ساده سازی به y = x + 0.
- اگر دو معادله شما دقیقاً یکسان هستند ، کل خط "تقاطع" دو معادله است. نوشتن پاسخ نامحدود به عنوان پاسخ
مرحله 3. محورهای مختصات را ترسیم کنید
یک خط عمودی "محور y" و یک خط "محور x" افقی روی کاغذ نمودار بکشید. از نقطه تلاقی دو محور شروع کنید (0 ، 0) ، برچسب های اعداد 1 ، 2 ، 3 ، 4 و غیره را به ترتیب به ترتیب در محور y و در سمت راست در محور x نشان دهید. به پس از آن ، برچسب های شماره -1 ، -2 و غیره را به ترتیب به ترتیب روی محور y و به سمت چپ در محور x یادداشت کنید.
- اگر کاغذ گراف ندارید ، از خط کش استفاده کنید تا مطمئن شوید فاصله بین هر عدد دقیقاً یکسان است.
- اگر از اعداد بزرگ یا اعشار استفاده می کنید ، توصیه می کنیم نمودار خود را مقیاس بندی کنید (به عنوان مثال 10 ، 20 ، 30 یا 0 ، 1 ، 0 ، 2 ، 0 ، 3 به جای 1 ، 2 ، 3).
مرحله 4. نقطه قطع y را برای هر معادله ترسیم کنید
اگر معادله به شکل باشد y = _x + _ ، می توانید با ایجاد نقطه ای که خط معادله با محور y تلاقی می کند ، رسم نمودار را شروع کنید. مقدار y همیشه آخرین عدد معادله است.
-
در ادامه مثال قبلی ، خط اول (y = -2x + 5) محور y را در قطع می کند
مرحله 5 به خط دوم (y = x + 0) محور y را در قطع می کند 0 به (این نقاط به صورت (0 ، 5) و (0 ، 0) روی نمودار نوشته شده است.)
- در صورت امکان ، خط اول و دوم را با قلم یا مداد رنگی مختلف بکشید.
مرحله 5. برای ادامه خط از شیب استفاده کنید
در قالب معادله y = _x + _ ، عدد مقابل x نشان دهنده "سطح شیب" خط است. هر بار که x یک افزایش می یابد ، مقدار y با تعداد سطوح شیب افزایش می یابد. از این اطلاعات برای پیدا کردن نقاط مربوط به هر خط روی نمودار هنگام x = 1 استفاده کنید (همچنین می توانید x = 1 را در هر معادله وارد کرده و مقدار y را بیابید.)
- در ادامه مثال قبلی ، خط y = -2x + 5 دارای شیب - 2 به در نقطه x = 1 ، خط حرکت می کند پایین با 2 از نقطه x = 0. یک خط اتصال (0 ، 5) با (1 ، 3) رسم کنید.
- خط y = x + 0 دارای شیب ½ به در x = 1 ، خط حرکت می کند سوار شدن از نقطه x = 0. خط (0 ، 0) را با (1 ،) متصل کنید.
- اگر دو خط شیب یکسانی داشته باشند ، این دو هرگز تلاقی نخواهند داشت. بنابراین ، این سیستم معادلات پاسخی ندارد. نوشتن هیچ پاسخی به عنوان پاسخ
مرحله 6. اتصال خطوط را ادامه دهید تا دو خط قطع شوند
کار را متوقف کنید و به نمودار خود نگاهی بیندازید. اگر دو خط از یکدیگر عبور کرده اند ، به مرحله بعدی بروید. اگر نه ، بر اساس موقعیت دو خط خود تصمیم بگیرید:
- اگر دو خط به یکدیگر نزدیک شدند ، به اتصال نقاط راه راه خود ادامه دهید.
- اگر دو خط از یکدیگر دور شدند ، به عقب برگردید و نقاط را در جهت مخالف متصل کنید ، از x = 1 شروع کنید.
- اگر دو خط بسیار از هم فاصله دارند ، سعی کنید از بالا بپرید و نقاط دورتر را به هم وصل کنید ، برای مثال x = 10.
مرحله 7. پاسخ را در نقطه تقاطع پیدا کنید
پس از تلاقی دو خط ، مقدار x و y در آن نقطه پاسخ مشکل شما است. اگر خوش شانس باشید ، پاسخ یک عدد کامل خواهد بود. به عنوان مثال ، در مثال ما دو خط در نقطه ای قطع می شوند (2, 1) بنابراین پاسخ این است x = 2 و y = 1 به در برخی از سیستم های معادلات ، نقطه تلاقی خط بین دو عدد کامل است و اگر نمودار چندان دقیق نباشد ، تعیین دقیق مقادیر x و y در نقطه تقاطع دشوار است. در صورت مجاز بودن ، می توانید "x بین 1 و 2" به عنوان پاسخ بنویسید ، یا از روش جایگزینی یا حذف برای یافتن پاسخ استفاده کنید.
نکات
- می توانید با اتصال پاسخ ها به معادله اصلی ، کار خود را بررسی کنید. اگر معادله درست باشد (مثلاً 3 = 3) ، به این معنی است که پاسخ شما درست است.
- هنگام استفاده از روش حذف ، گاهی اوقات باید معادله را در یک عدد منفی ضرب کنید تا متغیرها بتوانند یکدیگر را لغو کنند.
