حل یک سیستم معادلات مستلزم این است که مقادیر چندین متغیر را در چندین معادله بیابید. شما می توانید یک سیستم معادلات را از طریق جمع ، تفریق ، ضرب یا جایگزینی حل کنید. اگر می خواهید نحوه حل یک سیستم معادلات را بدانید ، کافی است این مراحل را دنبال کنید.
گام
روش 1 از 4: حل با تفریق
مرحله 1. یک معادله را بر روی دیگری بنویسید
حل یک سیستم معادلات با تفریق یک راه عالی است وقتی می بینید که هر دو معادله دارای متغیرهایی با ضرایب یکسان با علامت یکسان هستند. به عنوان مثال ، اگر هر دو معادله دارای متغیر مثبت 2x هستند ، باید از روش تفریق برای پیدا کردن مقدار هر دو متغیر استفاده کنید.
- با تراز کردن متغیرهای x و y و اعداد کامل آنها ، یک معادله را بر دیگری بنویسید. علامت تفریق را خارج از مقدار دو سیستم معادله بنویسید.
-
مثال: اگر دو معادله شما 2x + 4y = 8 و 2x + 27 = 2 است ، باید معادله اول را بالای علامت دوم بنویسید ، با علامت تفریق خارج از کمیت سیستم دوم ، نشان می دهد که هر کدام را کم خواهید کرد بخشی از معادله
- 2x + 4y = 8
- -(2x + 2y = 2)
مرحله 2. قسمتهای مساوی را کم کنید
اکنون که دو معادله را تراز کرده اید ، تنها کاری که باید انجام دهید این است که قسمت های مساوی را از یکدیگر کم کنید. می توانید قسمت ها را یکی یکی کم کنید:
- 2x - 2x = 0
- 4y - 2y = 2y
-
8 - 2 = 6
2x + 4y = 8 -(2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6
مرحله 3. بقیه را انجام دهید
اگر هنگامی که متغیرها را با ضریب یکسان کم می کنید ، یکی از متغیرها را با گرفتن 0 حذف کرده اید ، فقط باید با حل معادلات معمولی متغیرهای باقی مانده را حل کنید. می توانید 0 را از معادله حذف کنید زیرا مقدار آن تغییر نمی کند.
- 2y = 6
- 2y و 6 را بر 2 تقسیم کنید تا y = 3 بدست آید
مرحله 4. مقدار پیدا شده را به یکی از معادلات وصل کنید تا مقدار دیگری را بیابید
اکنون که y = 3 را می دانید ، کافی است آن را به یکی از معادلات اصلی وصل کنید تا مقدار x را بیابید. مهم نیست که کدام معادله را انتخاب می کنید زیرا پاسخ یکسان خواهد بود. اگر یک معادله پیچیده تر از دیگری است ، فقط آن را به معادله ساده تر وصل کنید.
- y = 3 را به معادله 2x + 2y = 2 وصل کنید و مقدار x را بیابید.
- 2x + 2 (3) = 2
- 2x + 6 = 2
- 2x = -4
-
x = - 2
شما سیستم معادلات را با استفاده از تفریق حل کرده اید. (x ، y) = (-2 ، 3)
مرحله 5. پاسخ های خود را بررسی کنید
برای اطمینان از اینکه سیستم معادلات را به درستی حل کرده اید ، می توانید هر دو پاسخ خود را به هر دو معادله وصل کنید تا مطمئن شوید که پاسخ برای هر دو معادله صحیح است. در اینجا نحوه انجام آن آمده است:
-
(-2 ، 3) را برای مقدار (x ، y) به معادله 2x + 4y = 8 وصل کنید.
- 2(-2) + 4(3) = 8
- -4 + 12 = 8
- 8 = 8
-
(-2 ، 3) را برای مقدار (x ، y) به معادله 2x + 2y = 2 وصل کنید.
- 2(-2) + 2(3) = 2
- -4 + 6 = 2
- 2 = 2
روش 2 از 4: حل با افزودن
مرحله 1. یک معادله را بر روی دیگری بنویسید
اگر می بینید که هر دو معادله دارای متغیرهایی با ضرایب یکسان هستند که علامت متضاد دارند ، راه حل سیستم معادلات است. به عنوان مثال ، اگر یکی از معادلات دارای متغیر 3x و معادله دیگر دارای متغیر -3x باشد ، در این صورت روش جمع بندی راه درستی است.
- با تراز کردن متغیرهای x و y و اعداد کامل آنها ، یک معادله را بر دیگری بنویسید. علامت جمع را خارج از کمیت سیستم معادلات دوم بنویسید.
-
مثال: اگر دو معادله شما 3x + 6y = 8 و x - 6y = 4 باشد ، باید معادله اول را بالای دوم بنویسید ، با علامت جمع خارج از مقدار سیستم دوم ، نشان می دهد که هر قسمت را جمع می کنید از معادله
- 3x + 6y = 8
- +(x - 6y = 4)
مرحله 2. قسمتهای مساوی را جمع کنید
اکنون که دو معادله را تراز کرده اید ، تنها کاری که باید انجام دهید این است که قسمتهای مساوی را جمع کنید. می توانید آنها را یکی یکی اضافه کنید:
- 3x + x = 4x
- 6y + -6y = 0
- 8 + 4 = 12
-
وقتی آنها را ترکیب کنید ، نتیجه جدید خود را دریافت خواهید کرد:
- 3x + 6y = 8
- +(x - 6y = 4)
- = 4x+ 0 = 12
مرحله 3. بقیه را انجام دهید
اگر هنگام جمع کردن متغیرها با ضریب یک ، یکی از متغیرها را با 0 حذف کرده اید ، فقط باید با حل معادله معمولی متغیرهای باقی مانده را حل کنید. می توانید 0 را از معادله حذف کنید زیرا مقدار آن تغییر نمی کند.
- 4x + 0 = 12
- 4x = 12
- 4x و 12 را بر 3 تقسیم کنید تا x = 3 بدست آید
مرحله 4. نتیجه را دوباره به معادله وصل کنید تا مقدار دیگری را بیابید
اکنون که می دانید x = 3 ، فقط کافی است آن را به یکی از معادلات اصلی وصل کنید تا مقدار y را بیابید. مهم نیست که کدام معادله را انتخاب می کنید زیرا نتیجه یکسان خواهد بود. اگر یک معادله پیچیده تر از دیگری به نظر می رسد ، فقط آن را به معادله ساده تر وصل کنید.
- x = 3 را به معادله x - 6y = 4 وصل کنید تا مقدار y را بیابید.
- 3 - 6y = 4
- -6y = 1
-
-6y و 1 را بر -6 تقسیم کنید تا y = -1/6 بدست آید
شما سیستم معادلات را با استفاده از جمع حل کرده اید. (x ، y) = (3 ، -1/6)
مرحله 5. پاسخ های خود را بررسی کنید
برای اطمینان از اینکه سیستم معادلات را به درستی حل کرده اید ، فقط باید مقادیر را به هر دو معادله وصل کنید تا از صحت پاسخ هر دو معادله اطمینان حاصل کنید. در اینجا نحوه انجام آن آمده است:
-
(3 ، -1/6) را برای مقدار (x ، y) به معادله 3x + 6y = 8 وصل کنید.
- 3(3) + 6(-1/6) = 8
- 9 - 1 = 8
- 8 = 8
-
(3 ، -1/6) را برای مقدار (x ، y) به معادله x - 6y = 4 وصل کنید.
- 3 - (6 * -1/6) =4
- 3 - - 1 = 4
- 3 + 1 = 4
- 4 = 4
روش 3 از 4: حل با ضرب
مرحله 1. یک معادله را بر روی دیگری بنویسید
با تراز کردن متغیرهای x و y و اعداد کامل ، یک معادله را بر دیگری بنویسید. اگر از روش ضرب استفاده می کنید ، هیچ یک از متغیرها ضریب یکسانی ندارند - هنوز نه.
- 3x + 2y = 10
- 2x - y = 2
مرحله 2. یک یا هر دو معادله را ضرب کنید تا زمانی که یکی از متغیرهای هر دو قسمت دارای ضریب یکسان باشد
حال ، یک یا هر دو معادله را در یک عدد ضرب کنید که باعث می شود ضریب یکسانی برای یک متغیر وجود داشته باشد. در این مسئله ، می توانید کل معادله دوم را در 2 ضرب کنید تا متغیر –y -2y شود و برابر ضریب y معادله اول شود. در اینجا نحوه انجام آن آمده است:
- 2 (2x - y = 2)
- 4x - 2y = 4
مرحله 3. معادلات را اضافه یا تفریق کنید
حال ، جمع یا تفریق را برای هر دو معادله با استفاده از روشی اعمال کنید که متغیرهای با ضرایب یکسان را حذف می کند. از آنجا که می خواهید 2y و -2y را حل کنید ، باید از روش جمع استفاده کنید زیرا 2y + -2y برابر 0 است. اگر مشکل شما 2y و مثبت 2y است ، از تفریق استفاده خواهید کرد. در اینجا نحوه استفاده از روش جمع آوری برای حذف یکی از متغیرها آمده است:
- 3x + 2y = 10
- + 4x - 2y = 4
- 7x + 0 = 14
- 7x = 14
مرحله 4. بقیه را انجام دهید
فقط آن را حل کنید تا مقدار متغیری را که حذف نکرده اید پیدا کنید. اگر 7x = 14 ، پس x = 2.
مرحله 5. مقدار را به معادله وصل کنید تا مقدار دیگری پیدا کنید
مقدار را به یکی از معادلات اصلی وصل کنید تا معادله دیگر را بیابید. برای سهولت کار ، معادله ساده تری را انتخاب کنید.
- x = 2 - 2x - y = 2
- 4 - y = 2
- -y = -2
- y = 2
- شما سیستم معادلات را با استفاده از ضرب حل کرده اید. (x ، y) = (2 ، 2)
مرحله 6. پاسخ های خود را بررسی کنید
برای بررسی پاسخ خود ، فقط دو مقداری را که پیدا کرده اید به معادله اصلی وصل کنید تا مطمئن شوید که مقادیر صحیح را پیدا کرده اید.
- (2 ، 2) را برای مقدار (x ، y) به معادله 3x + 2y = 10 وصل کنید.
- 3(2) + 2(2) = 10
- 6 + 4 = 10
- 10 = 10
- (2 ، 2) را برای مقدار (x ، y) به معادله 2x - y = 2 وصل کنید.
- 2(2) - 2 = 2
- 4 - 2 = 2
- 2 = 2
روش 4 از 4: حل با جایگزینی
مرحله 1. یکی از متغیرها را تراز کنید
روش جایگزینی اگر یکی از ضرایب یکی از معادلات برابر یک باشد ، روش صحیح است. سپس ، تنها کاری که باید انجام دهید این است که ضریب آن یک متغیر را در یکی از معادلات جدا کنید تا مقدار آن را بیابید.
- اگر بر روی معادله 2x + 3y = 9 و x + 4y = 2 کار می کنید ، می خواهید x را در معادله دوم جدا کنید.
- x + 4y = 2
- x = 2 - 4y
مرحله 2. مقدار متغیری را که به تنهایی دارید به یک معادله دیگر وصل کنید
مقداری را که هنگام جدا کردن متغیر پیدا کرده اید در نظر بگیرید و متغیر را در معادله ای که با آن مقدار تغییر نکرده اید جایگزین کنید. اگر چیزی را دوباره به معادله ای که تغییر داده اید وصل کنید ، نمی توانید حل کنید. در اینجا باید چکار کرد:
- x = 2 - 4y 2x + 3y = 9
- 2 (2 - 4y) + 3y = 9
- 4 - 8y + 3y = 9
- 4 - 5y = 9
- -5y = 9 - 4
- -5y = 5
- -y = 1
- y = - 1
مرحله 3. متغیرهای باقیمانده را حل کنید
اکنون که y = -1 را می دانید ، فقط آن مقدار را به یک معادله ساده تر وصل کنید تا مقدار x را بیابید. در اینجا نحوه انجام آن وجود دارد:
- y = -1 x = 2 - 4y
- x = 2 - 4 (-1)
- x = 2 - -4
- x = 2 + 4
- x = 6
- شما سیستم معادلات را با جایگزینی حل کرده اید. (x ، y) = (6 ، -1)
مرحله 4. کار خود را بررسی کنید
برای اطمینان از اینکه سیستم معادلات را به درستی حل کرده اید ، فقط باید دو پاسخ خود را به هر دو معادله وصل کنید تا از صحت هر دو مطمئن شوید. در اینجا نحوه انجام آن آمده است:
-
(6 ، -1) را برای مقدار (x ، y) به معادله 2x + 3y = 9 وصل کنید.
- 2(6) + 3(-1) = 9
- 12 - 3 = 9
- 9 = 9
- (6 ، -1) را برای مقدار (x ، y) به معادله x + 4y = 2 وصل کنید.
- 6 + 4(-1) = 2
- 6 - 4 = 2
- 2 = 2
