نحوه محاسبه ریشه های مربعی به صورت دستی (با تصاویر)

2024 نویسنده: Jason Gerald | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-15 08:13

در روزهای قبل از اختراع ماشین حساب ، دانشجویان و اساتید مجبور بودند ریشه های مربعی را به صورت دستی محاسبه کنند. چندین روش مختلف برای غلبه بر این روند دشوار ایجاد شده است. برخی از روشها برآورد تقریبی و برخی دیگر مقدار دقیق را ارائه می دهند. برای یادگیری نحوه یافتن ریشه مربع یک عدد با استفاده از عملیات ساده ، برای شروع به مرحله 1 زیر مراجعه کنید.

گام

روش 1 از 2: استفاده از Prime Factorization

مرحله 1. شماره خود را به عوامل مربعی کامل تقسیم کنید

این روش از عوامل یک عدد برای یافتن ریشه مربع عدد استفاده می کند (بسته به عدد ، پاسخ می تواند یک عدد دقیق یا تقریبی نزدیک باشد). عوامل یک عدد مجموعه ای از اعداد دیگر است که در صورت ضرب ، آن عدد را تولید می کنند. به عنوان مثال ، می توانید بگویید که عوامل 8 2 و 4 هستند زیرا 2 × 4 = 8. در همین حال ، مربع های کامل اعدادی هستند که حاصل ضرب سایر اعداد کامل هستند. به عنوان مثال ، 25 ، 36 و 49 به ترتیب 5 مربع هستند², 6²، و 7²به همانطور که احتمالاً حدس زده اید ، عوامل مربع کامل عواملی هستند که مربع کامل نیز هستند. برای شروع یافتن ریشه مربعی از طریق فاکتورگیری اول ، ابتدا سعی کنید عدد خود را به عوامل مربعی کامل آن ساده کنید.

• بیایید از یک مثال استفاده کنیم. ما می خواهیم ریشه مربع 400 را به صورت دستی بیابیم. برای شروع ، ما عدد را به عوامل مربعی کامل آن تقسیم می کنیم. از آنجا که 400 مضرب 100 است ، می دانیم که 400 بر 25 بخش پذیر است - یک مربع کامل. با تقسیم سریع سایه ها ، متوجه می شویم که 400 تقسیم بر 25 برابر 16 است. به طور تصادفی ، 16 نیز یک مربع کامل است. بنابراین ، فاکتورهای مربع کامل 400 برابر است 25 و 16 زیرا 16 25 25 = 400.
• ما می توانیم آن را به صورت زیر بنویسیم: Sqrt (400) = Sqrt (16 25 25)

مرحله 2. ریشه مربعی عوامل مربع کامل خود را بیابید

ویژگی ضرب ریشه مربع بیان می کند که برای هر عدد a و b ، Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). به دلیل این ویژگی ، اکنون می توانیم ریشه مربعی عوامل مربع کامل خود را بیابیم و آنها را ضرب کنیم تا پاسخ خود را بدست آوریم.

• در مثال ما ، ریشه های مربع 25 و 16 را پیدا می کنیم.

  • ریشه (25 × 16)
  • ریشه (25) oot ریشه (16)

  • 5 × 4 =

    مرحله 20

مرحله 3. اگر نمی توانید شماره خود را کاملاً در نظر بگیرید ، پاسخ خود را به ساده ترین شکل ساده کنید

در زندگی واقعی ، اغلب اعدادی که برای یافتن ریشه مربع نیاز دارید اعداد صحیح دلپذیر نیستند و دارای فاکتورهای مربع کامل کاملاً واضح مانند 400 هستند. در این موارد ، ممکن است که ما جواب درست را پیدا نکنیم. به عنوان یک عدد کامل. با این حال ، با یافتن هر تعداد عامل مربع کامل که می توانید ، می توانید پاسخ را در قالب یک ریشه مربع پیدا کنید که محاسبه کوچکتر ، ساده تر و آسان تر است. برای این کار ، تعداد خود را به ترکیبی از عوامل مربع کامل و عوامل مربع ناقص کاهش دهید ، سپس ساده کنید.

• بیایید از ریشه مربع 147 به عنوان مثال استفاده کنیم. 147 حاصل دو مربع کامل نیست ، بنابراین نمی توانیم عدد صحیح دقیق را در بالا بدست آوریم. با این حال ، 147 حاصل یک مربع کامل و یک عدد دیگر است - 49 و 3. ما می توانیم از این اطلاعات استفاده کنیم تا پاسخ خود را در ساده ترین شکل به شرح زیر بنویسیم:

  • ریشه (147)
  • = ریشه (49 × 3)
  • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
  • = 7 × ریشه (3)

مرحله 4. در صورت نیاز ، تخمین بزنید

با داشتن ریشه مربعی در ساده ترین شکل ، معمولاً به راحتی می توان با حدس زدن مقدار ریشه دوم باقی مانده و ضرب آن ، برآورد تقریبی پاسخ عددی را بدست آورد. یک راه برای هدایت حدس شما این است که به دنبال مربع های کامل باشید که بزرگتر و کمتر از عدد موجود در ریشه مربع شما باشد. متوجه خواهید شد که مقدار اعشاری عدد در ریشه مربع شما بین دو عدد است ، بنابراین می توانید مقدار بین دو عدد را حدس بزنید.

• به مثال خود بازگردیم. چون 2² = 4 و 1² = 1 ، ما می دانیم که ریشه (3) بین 1 و 2 است - احتمالاً نزدیک به 2 از 1. ما 1 ، 7. 7 × 1 ، 7 = را تخمین می زنیم 11, 9 به اگر پاسخ خود را در ماشین حساب بررسی کنیم ، می بینیم که پاسخ ما بسیار نزدیک به پاسخ واقعی است 12, 13.

  این امر در مورد اعداد بزرگتر نیز صدق می کند. به عنوان مثال ، ریشه (35) را می توان بین 5 و 6 (احتمالاً نزدیک به 6) تقریب زد. 5² = 25 و 6² = 36. 35 بین 25 تا 36 است ، بنابراین ریشه مربع باید بین 5 تا 6 باشد. از آنجا که 35 فقط یک کوچکتر از 36 است ، می توان با اطمینان گفت که ریشه مربع کمی کمتر از 6 است. بررسی با ماشین حساب به ما پاسخ دهید حدود 5 ، 92 است - ما درست می گوییم.

گام پنجم. متناوباً ، اولین قدم خود را به کمترین عوامل متداول خود کاهش دهید

اگر بتوانید عوامل اول یک عدد (عواملی که اعداد اول نیز هستند) را به راحتی تعیین کنید ، یافتن عوامل مربعات کامل ضروری نیست. شماره خود را بر اساس کمترین عوامل مشترک آن بنویسید. سپس ، جفت اعداد اول را که با عوامل شما مطابقت دارند ، بیابید. وقتی دو عامل اول را پیدا کردید که یکسان هستند ، این دو عدد را از ریشه مربع بردارید و یکی از این اعداد را خارج از ریشه مربع قرار دهید.

• برای مثال ، با استفاده از این روش ، ریشه مربع 45 را پیدا کنید. ما می دانیم که 5 45 45 و می دانیم که زیر 9 = 3 × 3. بنابراین ، ما می توانیم ریشه مربع خود را بر اساس عوامل زیر بنویسیم: Sqrt (3 × 3 × 5). فقط هر 3 را بردارید و یک 3 را خارج از ریشه مربع قرار دهید تا ریشه مربع شما به ساده ترین شکل ساده شود: (3) ریشه (5).

  از اینجا ، برآورد ما آسان خواهد بود.

• به عنوان آخرین مشکل مثال ، بیایید سعی کنیم ریشه مربع 88 را پیدا کنیم:

  • ریشه (88)
  • = ریشه (2 × 44)
  • = ریشه (2 × 4 × 11)
  • = ریشه (2 × 2 × 2 × 11). ما حدود 2 عدد در ریشه مربع خود داریم. از آنجا که 2 یک عدد اول است ، می توانیم یک جفت 2s را برداشته و یکی از آنها را خارج از ریشه مربع قرار دهیم.

  • = ریشه مربع ما در ساده ترین شکل آن (2) Sqrt (11 2 2) یا است (2) ریشه (2) ریشه (11).

    از اینجا می توان Sqrt (2) و Sqrt (11) را برآورد کرده و پاسخ تقریبی را همانطور که می خواهیم پیدا کنیم.

روش 2 از 2: یافتن ریشه مربعی به صورت دستی

با استفاده از الگوریتم تقسیم طولانی

مرحله 1. ارقام شماره خود را به صورت جفت جدا کنید

این روش از فرایندی شبیه تقسیم طولانی برای یافتن رقم دقیق ریشه به رقم استفاده می کند. در حالی که اجباری نیست ، ممکن است انجام این فرآیند برای شما آسان تر شود اگر بصورت تصویری محل کار و شماره های خود را در قسمت هایی با کار آسان سازماندهی کنید. ابتدا یک خط عمودی تقسیم کنید که محل کار شما را به دو قسمت تقسیم می کند ، سپس یک خط افقی کوتاه تر در بالا سمت راست بکشید تا قسمت راست را به یک قسمت بالا کوچکتر و یک قسمت پایین بزرگتر تقسیم کنید. در مرحله بعد ، ارقام خود را به جفت جدا کنید ، از نقطه اعشار شروع کنید. به عنوان مثال ، با پیروی از این قانون ، 79،520،789،182 ، 47897 تبدیل می شود "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". شماره خود را در بالا سمت چپ بنویسید.

به عنوان مثال ، بیایید سعی کنیم ریشه مربع 780 ، 14 را محاسبه کنیم. دو خط بکشید تا محل کار خود را مانند بالا تقسیم کنید و "7 80. 14" را در بالا سمت چپ بنویسید. فرقی نمی کند که سمت چپ عدد یک عدد باشد و نه یک جفت اعداد. شما پاسخ خود را (ریشه مربع 780 ، 14) در بالا سمت راست بنویسید

مرحله 2. بزرگترین عددی را که مقدار مربع آن کمتر یا مساوی عدد (یا جفت اعداد) در سمت چپ است ، بیابید

از سمت چپ شماره خود شروع کنید ، هم جفت اعداد و هم اعداد واحد. بزرگترین مربع کامل را که کمتر یا مساوی این عدد است پیدا کنید ، سپس ریشه مربع این مربع کامل را بیابید. این عدد n است. n را در بالا سمت راست بنویسید و مربع n را در ربع پایین سمت راست بنویسید.

در مثال ما ، سمت چپ شماره 7 است. زیرا می دانیم که 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9 ، می توانیم بگوییم n = 2 زیرا 2 بزرگترین عدد صحیح است که مقدار مربع آن کمتر یا مساوی 7 است. 2 را در ربع بالا سمت راست بنویسید. این اولین رقم پاسخ ما است. 4 (مقدار مربع 2) را در ربع پایین سمت راست بنویسید. این عدد برای مرحله بعدی مهم است.

مرحله 3. عددی را که تازه محاسبه کرده اید از چپ ترین جفت کم کنید

مانند تقسیم طولانی ، گام بعدی این است که مقدار مربعی را که تازه یافتیم از قسمتی که آنالیز کردیم کم کنیم. این عدد را در قسمت اول بنویسید و از آن کم کنید و پاسخ خود را در زیر آن بنویسید.

• در مثال ما ، 4 زیر 7 می نویسیم ، سپس آن را کم می کنیم. این تفریق جواب می دهد

  مرحله 3.

مرحله 4. جفت بعدی را رها کنید

قسمت بعدی عددی را که برای آن به دنبال ریشه مربع هستید پایین بیاورید ، کنار مقدار تفریق که به تازگی پیدا کرده اید. در مرحله بعد ، عدد چهار ضلعیه سمت راست را در دو ضرب کرده و پاسخ را در ربع پایین سمت راست بنویسید. در کنار عددی که به تازگی یادداشت کرده اید ، برای مشکل ضرب که در مرحله بعد با نوشتن '"_ × _ ="' انجام می دهید ، فضایی بگذارید.

در مثال ما ، جفت بعدی اعداد ما "80" است. در قسمت چهارم سمت چپ "80" را در کنار 3 بنویسید. سپس عدد بالا سمت راست را در دو ضرب کنید. این عدد 2 است ، بنابراین 2 × 2 = 4. "4" "را در ربع پایین سمت راست بنویسید ، و سپس _×_=.

مرحله 5. جاهای خالی در ربع راست را پر کنید

شما باید تمام جاهای خالی را که فقط در چهارم سمت راست نوشتید با همان عدد کامل پر کنید. این عدد صحیح باید بزرگترین عددی باشد که محصول را در ربع راست کمتر یا مساوی عدد فعلی در سمت چپ می کند.

در مثال ما ، جاهای خالی را با 8 پر می کنیم و در نتیجه 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384 می شود. این مقدار بزرگتر از 384 است. بنابراین ، 8 خیلی بزرگ است ، اما ممکن است 7 کار کند. 7 را در جاهای خالی بنویسید و حل کنید: 4 (7) × 7 = 329. 7 عدد صحیحی است زیرا 329 کمتر از 380 است. 7 را در ربع بالا سمت راست بنویسید. این دومین رقم در ریشه مربع 780 ، 14 است

مرحله 6. عددی را که تازه محاسبه کرده اید از عددی که در سمت چپ قرار دارد کم کنید

زنجیره تفریق را با استفاده از روش تقسیم طولانی ادامه دهید. حاصل مسئله را در ربع راست بگیرید و در حالی که پاسخ های خود را در زیر می نویسید ، آن را از عددی که اکنون در سمت چپ قرار دارد کم کنید.

در مثال ما ، 329 را از 380 کم می کنیم ، که نتیجه را می دهد 51.

مرحله 7. مرحله 4 را تکرار کنید

قسمت بعدی عددی را که برای آن به دنبال ریشه مربع هستید ، بدست آورید. وقتی به عدد اعشاری در عدد خود رسیدید ، عدد اعشاری را در پاسخ خود در ربع بالا سمت راست بنویسید. سپس ، عدد بالا سمت راست را در 2 ضرب کرده و آن را در کنار مسئله ضرب خالی ("_ × _") بنویسید.

در مثال ما ، از آنجا که ما در حال حاضر با نقطه اعشار در 780 ، 14 سروکار داریم ، پس از پاسخ فعلی ما در بالا سمت راست نقطه اعشار را بنویسید. بعد ، جفت بعدی (14) را در ربع چپ پایین بیاورید. دو برابر عدد بالا سمت راست (27) برابر 54 است ، بنابراین "54 _ × _ =" را در ربع پایین سمت راست بنویسید

مرحله 8. مراحل 5 و 6 را تکرار کنید

بزرگترین رقم را برای پر کردن جاهای خالی در سمت راست پیدا کنید ، که پاسخی کمتر یا مساوی با عددی است که در حال حاضر در سمت چپ است. سپس ، مشکل را حل کنید.

در مثال ما ، 549 × 9 = 4941 ، که کمتر یا مساوی عدد سمت چپ (5114) است. 549 × 10 = 5490 بسیار بزرگ است ، بنابراین 9 پاسخ شما است. عدد 9 را در ربع بالا سمت راست بنویسید و حاصل را از عدد سمت چپ کم کنید: 5114 منهای 4941 برابر 173 است

مرحله 9. برای ادامه شمارش ارقام ، جفت صفر را در سمت چپ پایین بیاورید و مراحل 4 ، 5 و 6 را تکرار کنید

برای دقت بیشتر ، این روند را ادامه دهید تا صدها ، هزاران و مکانهای دیگر را در پاسخ خود بیابید. استفاده از این چرخه را تا زمانی که رقم اعشاری را که می خواهید پیدا کنید ادامه دهید.

درک فرایند

مرحله 1. عددی را که ریشه مربع آن را به عنوان مساحت S مربع محاسبه کرده اید تصور کنید

از آنجا که مساحت مربع P است² جایی که P طول یکی از اضلاع است ، سپس با تلاش برای یافتن ریشه مربع عدد خود ، در واقع سعی می کنید طول P آن ضلع مربع را محاسبه کنید.

مرحله 2. متغیرهای حرف را برای هر رقم پاسخ خود تعیین کنید

متغیر A را به عنوان اولین رقم P (ریشه مربعی که سعی در محاسبه آن داریم) قرار دهید. B رقم دوم ، C سومین رقم و غیره خواهد بود.

مرحله 3. متغیرهای حرف را برای هر قسمت از شماره شروع خود تعیین کنید

متغیر S را تنظیم کنید_آ برای اولین جفت رقم در S (مقدار اولیه شما) ، S_ب برای جفت دوم رقم و غیره

مرحله 4. رابطه بین این روش و تقسیم طولانی را درک کنید

این روش برای یافتن ریشه مربع در اصل یک مشکل تقسیم طولانی است که عدد اولیه شما را بر ریشه مربع تقسیم می کند و به شما ریشه مربع پاسخ می دهد. درست مانند مسئله تقسیم طولانی ، شما فقط به رقم بعدی در هر مرحله علاقه دارید. به این ترتیب ، شما فقط به دو رقم بعدی در هر مرحله (که رقم بعدی در هر مرحله برای ریشه مربع است) علاقه دارید.

مرحله 5. بزرگترین عددی را پیدا کنید که مقدار مربع آن کمتر یا مساوی S باشد_آ.

اولین رقم A در پاسخ ما بزرگترین عددی است که مقدار مربع آن از S تجاوز نمی کند_آ (یعنی A به طوری که A² Sa <(A+1)). در مثال ما ، S._آ = 7 ، و 2² 7 <3² ، بنابراین A = 2.

توجه داشته باشید که به عنوان مثال ، اگر می خواهید 88962 را با تقسیم طولانی تقسیم بر 7 کنید ، اولین مراحل تقریباً یکسان است: اولین رقم 88962 (که 8 است) را مشاهده می کنید و به دنبال بزرگترین رقم هستید که در ضرب در 7 ، کوچکتر یا مساوی 8 است در اصل ، شما به دنبال d هستید به طوری که 7 × d 8 <7 × (d+1). در این حالت d برابر 1 خواهد بود

مرحله 6 ارزش مربعی را تصور کنید که قرار است روی مساحت آن شروع به کار کنید

پاسخ شما ، ریشه مربعی شماره شروع شما ، P است که طول مربع را با مساحت S (شماره شروع شما) توصیف می کند. نمرات شما برای A ، B ، C ، نشان دهنده ارقام در مقدار P است. روش دیگر گفتن این 10A + B = P (برای پاسخ دو رقمی) ، 100A + 10B + C = P (برای سه- پاسخ رقمی) و غیره

در مثال ما ، (10A+B) ² = P² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B² به به یاد داشته باشید که 10A+B نشان دهنده پاسخ ما ، P ، با B در موقعیت یکها و A در موقعیت ده ها است. به عنوان مثال ، با A = 1 و B = 2 ، 10A+B برابر 12 است. (10A+B) مساحت کل مربع است ، در حالی که 100A² مساحت بزرگترین میدان در آن است ، B² مساحت کوچکترین مربع موجود در آن است و 10A × B مساحت دو مستطیل باقی مانده است. با انجام این فرایند طولانی و پیچیده ، با جمع کردن مساحت مربع ها و مستطیل های داخل ، مساحت کل یک مربع را پیدا می کنیم.

مرحله 7. A² را از S کم کنید_آ.

یک جفت رقم را کاهش دهید (S_ب) از S. ارزش S_آ س_ب نزدیک به مساحت کل مربع ، که فقط از آن برای کسر مربع داخلی بزرگتر استفاده کردید. باقیمانده را می توان عدد N1 دانست که در مرحله 4 بدست آوردیم (در مثال ما 380 = N1). N1 برابر 2 بار است: 10A × B + B² (مساحت دو مستطیل به علاوه مساحت مربع کوچکتر).

مرحله 8. N1 = 2 × 10A × B + B² را پیدا کنید که به صورت N1 = (2 × 10A + B) × B نیز نوشته شده است

در مثال ما ، شما قبلاً N1 (380) و A (2) را می شناسید ، بنابراین باید بی بی را پیدا کنید. B به احتمال زیاد یک عدد کامل نیست ، بنابراین واقعاً باید بزرگترین عدد صحیح B را پیدا کنید تا (2 × 10A + ب) × B N1. بنابراین شما باید: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)

مرحله 9. پایان دهید

برای حل این معادله ، A را در 2 ضرب کنید ، نتیجه را به موقعیت ده ها منتقل کنید (معادل ضرب در 10) ، B را در موقعیت یکها قرار دهید و عدد را در B. ضرب کنید. به عبارت دیگر ، حل کنید (2 × 10A + B) × B. این دقیقاً همان کاری است که هنگام نوشتن "N_ × _ =" (با N = 2 × A) در ربع پایین سمت راست در مرحله 4 انجام می دهید. در مرحله 5 ، بزرگترین عدد صحیح B را پیدا می کنید که مربوط به عدد زیر آن به طوری که (2 × 10A + B) × B N1.

مرحله 10. مساحت (2 × 10A + B) × B را از کل مساحت کم کنید

این تفریق در ناحیه S- (10A+B) ² محاسبه نمی شود (و از آن برای محاسبه رقم بعدی به همان روش استفاده می شود).

مرحله 11. برای محاسبه رقم بعدی ، C ، روند را تکرار کنید

جفت بعدی را پایین بیاورید (S_ج) از S برای دریافت N2 در سمت چپ ، و بزرگترین C را پیدا کنید تا (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (معادل نوشتن دو برابر عدد دو رقمی "AB" به دنبال آن "_ × _ =". بزرگترین رقم مطابقت را در جاهای خالی بیابید ، که مانند قبل کمتر یا مساوی N2 می دهد.

نکات

• جابجایی یک نقطه اعشار با مضرب دو رقمی در یک عدد (مضرب 100) ، به معنای جابجایی یک نقطه اعشار با چند برابر یک رقم در ریشه مربعی آن است (مضرب 10).
• در این مثال ، 1.73 را می توان "باقیمانده" در نظر گرفت: 780 ، 14 = 27 ، 9² + 1.73.
• این روش را می توان برای هر پایه استفاده کرد ، نه فقط پایه 10 (اعشاری).
• می توانید از حساب که برای شما راحت تر است استفاده کنید. برخی افراد نتیجه را بالای عدد اولیه می نویسند.
• یک روش جایگزین برای استفاده از کسرهای مکرر پیروی از این فرمول است: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). به عنوان مثال ، برای محاسبه ریشه مربع 780 ، 14 ، عددی صحیح که مقدار مربع آن نزدیک به 780 است ، 14 28 است ، بنابراین z = 780 ، 14 ، x = 28 و y = -3 ، 86. وارد کردن مقادیر و محاسبه برآورد فقط برای x + y/(2x) آن را (در ساده ترین حالت) 78207/20800 یا حدود 27 ، 931 (1) به دست می آورد. ترم بعدی ، 4374188/156607 یا تقریباً 27 ، 930986 (5). هر عبارت حدود 3 رقم اعشار را به دقت تعداد رقم اعشار قبلی اضافه می کند.

هشدار

اطمینان حاصل کنید که اعداد را از نقطه اعشار به جفت جدا کنید. 79،520،789،182، 47897 به "79 52 07 89 18 تقسیم می شود 2, 4 78 97 "یک عدد بی فایده را برمی گرداند.