تعیین کننده ماتریس ها اغلب در محاسبه ، جبر خطی و هندسه در سطح بالاتری استفاده می شود. در خارج از دانشگاه ، مهندسان و برنامه نویسان گرافیک رایانه ای همیشه از ماتریس ها و عوامل تعیین کننده آنها استفاده می کنند. اگر از قبل می دانید که چگونه تعیین کننده ماتریسی به ترتیب 2x2 را تعیین کنید ، فقط باید زمان استفاده از جمع ، تفریق و زمان را برای تعیین تعیین کننده ماتریس مرتبه 3x3 بیاموزید.
گام
قسمت 1 از 2: تعیین عوامل تعیین کننده
ماتریس سفارش 3 * 3 خود را بنویسید. ما با یک ماتریس A به ترتیب 3x3 شروع می کنیم و سعی می کنیم تعیین کننده | A |. در زیر شکل کلی نماد ماتریسی که استفاده می کنیم و نمونه ای از ماتریس ما آمده است:
| آ11 | آ12 | آ13 | 1 | 5 | 3 | |||
| م | = | آ21 | آ22 | آ23 | = | 2 | 4 | 7 |
| آ31 | آ32 | آ33 | 4 | 6 | 2 |
مرحله 1. یک سطر یا ستون را انتخاب کنید
انتخاب خود را ردیف یا ستون مرجع قرار دهید. هر کدام را که انتخاب کنید ، باز هم همان پاسخ را خواهید گرفت. ردیف اول را موقتا انتخاب کنید. ما در قسمت بعدی چند پیشنهاد برای انتخاب آسان ترین گزینه برای محاسبه به شما ارائه می دهیم.
ردیف اول ماتریس نمونه را انتخاب کنید A. عدد 1 5 را حلقه کنید 3. در نماد مشترک ، a را حلقه کنید11 آ12 آ13.
مرحله 2. سطر و ستون اولین عنصر خود را خط کشی کنید
به سطر یا ستونی که دور آن حلقه زده اید نگاه کنید و اولین عنصر را انتخاب کنید. سطرها و ستون ها را از هم دور کنید. فقط 4 شماره دست نخورده باقی می ماند. این 4 عدد را ماتریس ترتیب 2 * 2 کنید.
- در مثال ما ، ردیف مرجع ما 1 5 3 است. اولین عنصر در ردیف 1 و ستون 1 است. کل ردیف 1 و ستون 1 را خط کشی کنید. عناصر باقی مانده را در ماتریس 2 * 2 بنویسید:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
مرحله 3. تعیین کننده ماتریس مرتبه 2 * 2 را تعیین کنید
به یاد داشته باشید ، تعیین کننده ماتریس [آج بد] توسط تبلیغ - قبل از میلاد به همچنین ممکن است آموخته باشید که با ترسیم X بین ماتریس 2 2 2 تعیین کننده ماتریس را تعیین کنید. دو عدد متصل شده توسط خط / X را ضرب کنید. سپس ، تعداد دفعاتی که دو عدد با خط متصل شده اند را کم کنید / هستند. از این فرمول برای محاسبه تعیین کننده ماتریس 2 * 2 استفاده کنید.
- در مثال ، تعیین کننده ماتریس [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- این تعیین کننده نامیده می شود جزئی عناصری که در ماتریس اولیه انتخاب کرده اید. در این مورد ، ما به تازگی مینور a را پیدا کرده ایم11.
مرحله 4. عدد موجود را با عنصری که انتخاب کرده اید ضرب کنید
به یاد داشته باشید ، هنگامی که تصمیم گرفتید کدام سطرها و ستون ها را بیرون بکشید ، عناصر را از سطر (یا ستون) مرجع انتخاب کرده اید. این عنصر را با تعیین ماتریس 2 2 2 که پیدا کرده اید ضرب کنید.
در مثال ، ما a را انتخاب می کنیم11 که 1. است این عدد را در -34 ضرب کنید (تعیین کننده ماتریس 2*2) تا 1*-34 = - 34.
مرحله 5. نماد پاسخ خود را تعیین کنید
مرحله بعدی این است که شما باید پاسخ خود را در 1 یا -1 ضرب کنید تا بدست آورید کوفاکتور عنصری که انتخاب کرده اید نمادی که استفاده می کنید بستگی به جایی دارد که عناصر در ماتریس 3 * 3 قرار دارند. به یاد داشته باشید ، این جدول نماد برای تعیین ضرب عنصر شما استفاده می شود:
- + - +
- - + -
- + - +
- زیرا ما یک را انتخاب می کنیم11 که با علامت +مشخص شده است ، عدد را در 1+ ضرب می کنیم (یا به عبارت دیگر آن را تغییر ندهید). پاسخی که ظاهر می شود یکسان خواهد بود ، یعنی - 34.
- روش دیگر برای تعریف نماد استفاده از فرمول (-1) است i+j جایی که i و j عناصر سطر و ستون هستند.
مرحله 6. این فرایند را برای عنصر دوم در سطر یا ستون مرجع خود تکرار کنید
به ماتریس اصلی 3 3 3 که قبلاً در ردیف یا ستون آن را دور زده اید ، بازگردید. همین فرآیند را با عنصر تکرار کنید:
-
سطر و ستون عنصر را ضربدری کنید.
در این حالت ، عنصر a را انتخاب کنید12 (که ارزش 5 دارد). ردیف 1 (1 5 3) و ستون دوم (5 4 6) را با هم خط بزنید.
-
عناصر باقی مانده را به یک ماتریس 2x2 تبدیل کنید.
در مثال ما ، ماتریس سفارش 2x2 برای عنصر دوم [24 72].
-
تعیین کننده این ماتریس 2x2 را تعیین کنید.
از فرمول ad - bc استفاده کنید. (2*2 - 7*4 = -24)
-
در عناصر ماتریس 3x3 انتخابی خود ضرب کنید.
-24 * 5 = -120
-
تصمیم بگیرید که نتیجه فوق را در -1 ضرب کنید یا خیر.
از جدول نمادها یا فرمول ها استفاده کنید (-1)ijبه عنصر a را انتخاب کنید12 نمادین - در جدول نمادها. نماد پاسخ ما را با عبارت (-1)*(--120) = جایگزین کنید 120.
مرحله 7. همین فرآیند را برای عنصر سوم تکرار کنید
شما یک کوفاکتور دیگر برای تعیین تعیین کننده دارید. برای عنصر سوم در سطر یا ستون مرجع خود i را بشمارید. در اینجا راهی سریع برای محاسبه کوفاکتور a آمده است13 در مثال ما:
- برای بدست آوردن [ردیف 1 و ستون 3 را رد کنید24 46].
- تعیین کننده 2*6 - 4*4 = -4 است.
- ضرب در عنصر a13: -4 * 3 = -12.
- عنصر الف13 نماد + در جدول نمادها ، بنابراین پاسخ این است - 12.
مرحله 8. نتایج سه شمارش را جمع کنید
این آخرین مرحله است. شما سه عامل را محاسبه کرده اید ، یکی برای هر عنصر در یک ردیف یا ستون. این نتایج را جمع کنید و تعیین کننده ماتریس 3 3 3 را پیدا خواهید کرد.
در مثال ، تعیین کننده ماتریس است - 34 + 120 + - 12 = 74.
قسمت 2 از 2: آسان تر کردن مشکلات
مرحله 1. سطر یا ستون مراجع را که بیشترین 0 را دارند انتخاب کنید
به یاد داشته باشید ، می توانید هر سطر یا ستونی را که می خواهید انتخاب کنید. هر کدام را که انتخاب کنید ، پاسخ یکسان خواهد بود. اگر سطر یا ستونی را با شماره 0 انتخاب می کنید ، فقط باید کوفاکتور را با عناصری که 0 نیستند محاسبه کنید زیرا:
- به عنوان مثال ، ردیف دوم را که دارای عنصر a است انتخاب کنید21، آ22، سرمایه23به برای حل این مشکل ، از 3 ماتریس مختلف 2 * 2 استفاده می کنیم ، فرض کنید A21، آ22، شما23.
- تعیین کننده ماتریس 3x3 a است21| الف21| - آ22| الف22| + الف23| الف23|.
- اگر یک22 سرمایه23 مقدار 0 ، فرمول موجود a خواهد بود21| الف21| - 0*| الف22| + 0*| الف23| = a21| الف21| - 0 + 0 = a21| الف21| بنابراین ، ما فقط کوفاکتور یک عنصر را محاسبه می کنیم.
مرحله 2. برای سهولت مشکلات ماتریس از سطرهای اضافی استفاده کنید
اگر مقادیر را از یک سطر بردارید و به سطری دیگر اضافه کنید ، تعیین کننده ماتریس تغییر نمی کند. همین امر در مورد ستون ها نیز صادق است. می توانید این کار را به طور مکرر انجام دهید یا قبل از افزودن آن با یک عدد ضرب کنید تا هرچه بیشتر صفر را در ماتریس بدست آورید. این می تواند زمان زیادی را ذخیره کند.
- به عنوان مثال ، شما یک ماتریس با 3 ردیف دارید: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- برای حذف عدد 9 که در موقعیت a است11، می توانید مقدار ردیف دوم را در -3 ضرب کرده و نتیجه را به ردیف اول اضافه کنید. در حال حاضر ، خط اول جدید [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2] است.
- ماتریس جدید دارای سطرهای [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2] است. برای ایجاد a از همین ترفند در ستون ها استفاده کنید12 عدد 0 باشد
مرحله 3. برای ماتریس های مثلثی از روش سریع استفاده کنید
در این مورد خاص ، تعیین کننده حاصل عناصر موجود در مورب اصلی ، a است11 در بالا سمت چپ به a33 در پایین سمت راست ماتریس. این ماتریس هنوز ماتریس 3x3 است ، اما ماتریس "مثلث" دارای الگوی خاصی از اعداد است که 0 نیستند:
- ماتریس مثلثی فوقانی: همه عناصری که 0 نیستند روی قطر اصلی یا بالاتر قرار دارند. همه اعداد زیر مورب اصلی 0 هستند.
- ماتریس مثلثی پایینی: همه عناصری که 0 نیستند در قطر اصلی یا زیر آن قرار دارند.
- ماتریس مورب: همه عناصری که 0 نیستند در قطر اصلی (زیر مجموعه انواع ماتریس های بالا) قرار دارند.
نکات
- اگر همه عناصر یک سطر یا ستون 0 باشند ، تعیین کننده ماتریس 0 است.
- این روش را می توان برای همه اندازه های ماتریس درجه دوم استفاده کرد. به عنوان مثال ، اگر از این روش برای ماتریسی با ترتیب 4x4 استفاده می کنید ، "اعتصاب" شما ماتریسی از ترتیب 3x3 به جا می گذارد که تعیین کننده را می توان با انجام مراحل بالا تعیین کرد. به یاد داشته باشید ، انجام این کار می تواند خسته کننده باشد!
