نحوه رسم نمودار مربع: 10 مرحله (همراه با تصاویر)

2024 نویسنده: Jason Gerald | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-02-01 14:12

هنگامی که به صورت گرافیکی نشان داده شود ، معادله درجه دوم به شکل است تبر² + bx + c یا a (x - h)² + k شکل U یا منحنی U معکوس به نام Parabola را تشکیل دهید. رسم معادله درجه دوم به دنبال راس ، جهت و اغلب تقاطع x و y است. در موارد معادلات درجه دوم نسبتاً ساده ، وارد کردن مجموعه ای از مقادیر x و رسم منحنی بر اساس نقاط حاصله ممکن است کافی باشد. برای شروع به مرحله 1 زیر مراجعه کنید.

گام

مرحله 1. شکل معادله درجه دوم را تعیین کنید

معادلات درجه دو را می توان در سه شکل مختلف نوشت: شکل عمومی ، فرم راس و شکل درجه دوم. می توانید از هر شکلی برای رسم معادله درجه دوم استفاده کنید. روند به تصویر کشیدن هر نمودار کمی متفاوت است. اگر مشغول انجام تکالیف هستید ، معمولاً سوالات خود را به یکی از این دو شکل دریافت خواهید کرد - به عبارت دیگر ، نمی توانید انتخاب کنید ، بنابراین بهتر است هر دو را درک کنید. دو شکل از معادله درجه دوم عبارتند از:

• فرم کلی.

  در این شکل ، معادله درجه دوم به صورت زیر نوشته می شود: f (x) = ax² + bx + c که a ، b و c اعداد واقعی هستند و a صفر نیست.

  به عنوان مثال ، دو معادله درجه دوم به صورت کلی f (x) = x است² + 2x + 1 و f (x) = 9x² + 10x -8

• شکل قله

  در این شکل ، معادله درجه دوم به صورت زیر نوشته می شود: f (x) = a (x - h)² + k که a ، h و k اعداد واقعی هستند و a صفر نیست. به آن فرم راس می گویند زیرا h و k بلافاصله راس (نقطه وسط) سهمیه شما را در نقطه (h ، k) می دهند.

  دو معادله فرم راس عبارتند از f (x) = 9 (x - 4)² + 18 و -3 (x - 5)² + 1

• برای رسم نمودار هر نوع معادله ، ابتدا باید راس parabola را پیدا کنیم که نقطه میانی (h ، k) در انتهای منحنی است. مختصات قله ها در شکل کلی به صورت زیر محاسبه می شود: h = -b/2a و k = f (h) ، در حالی که در شکل اوج ، h و k در معادله قرار دارند.

مرحله 2. متغیرهای خود را تعریف کنید

برای حل مسئله درجه دوم ، متغیرهای a ، b و c (یا a ، h و k) معمولاً باید تعریف شوند. یک مسئله جبری معمولی یک معادله درجه دوم با متغیرهای موجود ، معمولاً به شکل کلی ، اما گاهی اوقات به صورت اوج ارائه می دهد.

• به عنوان مثال ، برای معادله ای از شکل کلی f (x) = 2x² + 16x + 39 ، a = 2 ، b = 16 و c = 39 داریم.
• برای فرم پیک معادله f (x) = 4 (x - 5)² + 12 ، ما a = 4 ، h = 5 و k = 12 داریم.

مرحله 3. h را محاسبه کنید

در معادله فرم راس ، مقدار h شما قبلاً داده شده است ، اما در معادله فرم کلی ، مقدار h باید محاسبه شود. به یاد داشته باشید که برای معادلات شکل کلی ، h = -b/2a.

• در مثال کلی ما مثال (f (x) = 2x² + 16x + 39) ، h = -b/2a = -16/2 (2). پس از حل ، می بینیم که h = - 4.
• در فرم راس ما مثال (f (x) = 4 (x - 5)² + 12) ، ما می دانیم که h = 5 بدون انجام هیچ گونه ریاضی.

مرحله 4. k را محاسبه کنید

مانند h ، k قبلاً در معادله شکل اوج شناخته شده است. برای معادلات شکل کلی ، به یاد داشته باشید که k = f (h). به عبارت دیگر ، می توانید k را با جایگزینی تمام مقادیر x موجود در معادله خود با مقادیر h که به تازگی پیدا کرده اید ، بیابید.

• ما قبلاً در مثال کلی خود تعیین کرده ایم که h = -4. برای یافتن k معادله خود را با وارد کردن مقدار h به جای x حل می کنیم:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    مرحله 7

• در مثال فرم پیک ما ، دوباره ، مقدار k (که 12 است) را بدون نیاز به انجام هرگونه ریاضی می دانیم.

مرحله 5. اوج خود را ترسیم کنید

راس parabola شما نقطه (h ، k) است-h نشان دهنده مختصات x است ، در حالی که k نشان دهنده مختصات y است. راس نقطه میانی parabola شما است - یا در پایین U یا در بالای U معکوس. دانستن راسها بخش مهمی از ترسیم دقیق یک سهمیه است - اغلب ، در تکالیف مدرسه ، تعیین راس بخشی است که باید در یک سوال جستجو شود.

• در مثال کلی شکل ما ، حداکثر ما (-4 ، 7) است. بنابراین ، سهمیه ما 4 مرحله به سمت چپ از 0 و 7 مرحله بالاتر (0 ، 0) به اوج خود می رسد. ما باید این نقطه را در نمودار خود به تصویر بکشیم و مطمئن شویم که مختصات را مشخص کنیم.
• در مثال فرم راس ما ، راس ما (5 ، 12) است. ما باید نقطه ای را 5 مرحله به سمت راست و 12 مرحله بالاتر (0 ، 0) بکشیم.

مرحله 6. محور سهمی را ترسیم کنید (اختیاری)

محور تقارن یک سهمی خطی است که از مرکز آن می گذرد و آن را دقیقاً در وسط تقسیم می کند. در این محور ، سمت چپ سهمی سمت راست را منعکس می کند. برای معادلات درجه دوم در قالب ax² + bx + c یا a (x - h)² + k ، محور تقارن خطی است که با محور y موازی است (به عبارت دیگر دقیقاً عمودی) و از راس عبور می کند.

در مورد مثال فرم کلی ما ، محور خطی است که موازی محور y است و از نقطه عبور می کند (-4 ، 7). حتی اگر بخشی از parabola نباشد ، علامت گذاری نازک این خط روی نمودار شما در نهایت به شما کمک می کند شکل متقارن منحنی parabola را ببینید

مرحله 7. جهت باز شدن سهمی را پیدا کنید

پس از آگاهی از قله و محور سهمی ، در مرحله بعد باید بدانیم که سهمی به بالا یا پایین باز می شود. خوشبختانه این کار آسان است. اگر مقدار a مثبت باشد ، parabola به سمت بالا باز می شود ، در حالی که اگر مقدار a منفی باشد ، parabola به سمت پایین باز می شود (یعنی Parabola برعکس می شود).

• برای مثال کلی فرم ما (f (x) = 2x² + 16x + 39) ، ما می دانیم که یک سهمی داریم که باز می شود زیرا در معادله ما a = 2 (مثبت).
• برای مثال فرم راس ما (f (x) = 4 (x - 5)² + 12) ، ما می دانیم که ما یک سهمی داریم که باز می شود زیرا a = 4 (مثبت).

مرحله 8. در صورت نیاز ، x-intercept را پیدا کرده و رسم کنید

اغلب ، در تکالیف مدرسه ، از شما خواسته می شود که x-intercept را در parabola (که یک یا دو نقطه ای است که parabola با محور x برخورد می کند) پیدا کنید. حتی اگر یکی از آنها را پیدا نکردید ، این دو نکته برای ترسیم یک سهمیه دقیق بسیار مهم هستند. با این حال ، همه parabolas ها x-intercept ندارند. اگر سهمی شما یک راس دارد که باز می شود و راس آن بالای محور x است یا اگر به سمت پایین باز می شود و راس آن زیر محور x است ، parabola هیچ x-intercept نخواهد داشت به در غیر این صورت ، x-intercept خود را به یکی از روش های زیر حل کنید:

• فقط f (x) = 0 را ایجاد کرده و معادله را حل کنید. این روش را می توان برای معادلات درجه دوم ساده ، به ویژه در حالت اوج استفاده کرد ، اما برای معادلات پیچیده بسیار مشکل خواهد بود. برای مثال به تصویر زیر مراجعه کنید

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • ریشه (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 و 13 رهگیری x در Parabola است.

• معادله خود را در نظر بگیرید برخی از معادلات در قالب ax² + bx + c را می توان به راحتی در فرم (dx + e) (fx + g) در نظر گرفت ، جایی که dx × fx = ax²، (dx × g + fx × e) = bx ، و e × g = c در این مورد ، ضربدرهای x شما مقادیر x هستند که هر عبارت را در پرانتز = 0 قرار می دهد. به عنوان مثال:

  • ایکس² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • در این مورد ، تنها x -inter -1 شما است زیرا x برابر -1 باعث می شود که هر عاملی در پرانتز برابر 0 باشد.

• از فرمول درجه دوم استفاده کنید. اگر نمی توانید به راحتی رهگیری x خود را حل کنید یا معادله خود را ضریب کنید ، از یک معادله ویژه به نام فرمول درجه دوم استفاده کنید که برای این منظور ایجاد شده است. اگر هنوز حل نشده است ، معادله خود را به ax form تبدیل کنید² + bx + c ، سپس a ، b و c را در فرمول x = (-b +/- sqrt (b) وارد کنید² - 4ac))/2a. توجه داشته باشید که این روش اغلب دو پاسخ برای مقدار x به شما می دهد ، که خوب است-این بدان معناست که parabola شما دارای دو رهگیری x است. برای نمونه به تصویر زیر مراجعه کنید:

  • -5 برابر² + 1x + 10 در فرمول درجه دوم به این صورت قرار می گیرد:
  • x = (-1 +/- ریشه (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- ریشه (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- ریشه (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14 ، 18)/-10
  • x = (13 ، 18/-10) و (-15 ، 18/-10). برش x در سهمیه x = است - 1, 318 و 1, 518
  • مثال قبلی ما از فرم کلی ، 2 برابر² +16x+39 در فرمول درجه دوم به صورت زیر قرار می گیرد:
  • x = (-16 +/- ریشه (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- ریشه (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- ریشه (-56)/-10
  • از آنجا که یافتن ریشه مربع یک عدد منفی غیرممکن است ، می دانیم که این سهمیه است فاقد رهگیری x است.

مرحله 9. در صورت نیاز ، y-intercept را پیدا کرده و رسم کنید

در حالی که اغلب نیازی به جستجوی قطع y در معادلات نیست (نقطه ای که سهمی از محور y عبور می کند) ، در نهایت ممکن است مجبور شوید آن را پیدا کنید ، به خصوص اگر در مدرسه هستید. این فرآیند نسبتاً ساده است-فقط x = 0 را بسازید ، سپس معادله خود را برای f (x) یا y حل کنید ، که مقدار y را در جایی که parabola شما از محور y عبور می کند ، نشان می دهد. برخلاف x رهگیری ، یک سهمی معمولی فقط می تواند یک y-intercept داشته باشد. توجه-برای معادلات شکل کلی ، قطع y در y = c است.

• به عنوان مثال ، ما می دانیم که معادله درجه دوم ما 2 برابر است² + 16x + 39 دارای y-39 در y = 39 است ، اما همچنین می توان آن را به روش زیر پیدا کرد:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. قطع y-parabola در است y = 39

    همانطور که در بالا ذکر شد ، قطع y در y = c است.

• شکل معادله راس ما 4 است (x - 5)² + 12 دارای یک y-intercept است که به روش زیر یافت می شود:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. قطع y-parabola در است y = 112

مرحله 10. در صورت نیاز ، نقاط اضافی را بکشید ، سپس یک نمودار بکشید

اکنون شما رأس ، جهت ، رهگیری x و احتمالاً y قطع را در معادله خود دارید. در این مرحله ، می توانید سعی کنید با استفاده از نکاتی که به عنوان راهنما دارید ، Parabola خود را ترسیم کنید ، یا به دنبال نقاط دیگری باشید تا Parabola خود را پر کنید تا منحنی که ترسیم می کنید دقیق تر باشد. ساده ترین راه برای انجام این کار این است که به سادگی مقادیر x را در هر طرف راس خود وارد کنید ، سپس این نقاط را با استفاده از مقادیر y بدست آورید. اغلب اوقات ، معلمان از شما می خواهند که قبل از کشیدن سهمیه خود به دنبال چند نکته باشید.

• بیایید معادله x را مرور کنیم² + 2x + 1. ما قبلاً می دانیم که فاصله x فقط در x = -1 است. از آنجا که منحنی فقط در یک نقطه برش x را لمس می کند ، می توانیم نتیجه بگیریم که راس همان x-intercept آن است ، به این معنی که راس (-1 ، 0) است. ما به طور م onlyثر فقط یک نکته برای این سهمیه داریم - برای کشیدن یک سهمیه خوب کافی نیست. بیایید به دنبال چند نکته دیگر باشیم تا مطمئن شویم که یک نمودار کامل ترسیم کرده ایم.

  • بیایید مقادیر y را برای مقادیر x زیر بیابیم: 0 ، 1 ، -2 و -3.
  • برای 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. نقطه ما این است (0, 1).

  • برای 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. نقطه ما این است (1, 4).

  • برای -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. نقطه ما این است (-2, 1).

  • برای -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. نقطه ما این است (-3, 4).

  • این نقاط را روی نمودار رسم کرده و منحنی U شکل خود را ترسیم کنید. توجه داشته باشید که Parabola کاملاً متقارن است - هنگامی که نقاط شما در یک طرف Parabola عدد صحیح هستند ، معمولاً می توانید کار انعکاس یک نقطه معین در محور تقارن Parabola را کاهش دهید تا همان نقطه را در طرف دیگر Parabola پیدا کنید. به

نکات

• مطابق درخواست معلم جبر ، اعداد را گرد کنید یا از کسر استفاده کنید. این به شما کمک می کند تا معادله درجه دوم را بهتر ترسیم کنید.
• توجه داشته باشید که در f (x) = ax² + bx + c ، اگر b یا c برابر صفر باشد ، این اعداد ناپدید می شوند. به عنوان مثال ، 12 برابر² + 0x + 6 12x می شود² + 6 زیرا 0x 0 است.