سرعت به عنوان سرعت یک جسم در جهت خاصی تعریف می شود. در بسیاری از موارد ، برای یافتن سرعت ، می توانیم از معادله v = s/t استفاده کنیم ، جایی که v برابر سرعت است ، s برابر کل فاصله ای است که جسم از موقعیت اولیه خود حرکت کرده است و t برابر زمان است. با این حال ، این روش فقط مقدار "متوسط" سرعت جسم را در جابجایی آن می دهد. با استفاده از حساب ، می توانید سرعت یک جسم را در هر نقطه از جابجایی آن محاسبه کنید. این مقدار "سرعت فوری" نامیده می شود و می تواند توسط معادله محاسبه شود v = (ds)/(dt) ، یا به عبارت دیگر مشتق معادله برای سرعت متوسط جسم است.
گام
روش 1 از 3: محاسبه سرعت لحظه ای
مرحله 1. با معادله سرعت جابجایی جسم شروع کنید
برای بدست آوردن مقدار سرعت لحظه ای یک جسم ، ابتدا باید معادله ای داشته باشیم که موقعیت آن (بر حسب جابجایی آن) را در یک مقطع زمانی مشخص توصیف کند. این بدان معناست که معادله باید متغیر داشته باشد s (که به تنهایی ایستاده است) در یک طرف ، و t از طرف دیگر (اما نه لزوماً مستقل) ، مانند این:
s = -1.5t2+10t+4
-
در معادله ، متغیرها عبارتند از:
-
- جابجایی = s به یعنی مسافت طی شده توسط جسم از نقطه شروع آن. به عنوان مثال ، اگر جسمی 10 متر به جلو و 7 متر به عقب حرکت کند ، کل مسافت طی شده 10 - 7 = است 3 متر (نه 10 + 7 = 17 متر).
-
زمان = t به این متغیر خود توضیحی است. معمولاً در ثانیه بیان می شود. # مشتق معادله را بگیرید. مشتق یک معادله معادله دیگری است که می تواند مقدار شیب را از یک نقطه مشخص نشان دهد. برای یافتن مشتق فرمول جابجایی یک شی ، تابع را با استفاده از قاعده کلی زیر استخراج کنید: اگر y = a*x باشد ، مشتق = a*n*xn-1 به این قانون در مورد هر جزء که در سمت "t" معادله قرار دارد صدق می کند.
محاسبه سرعت لحظه ای مرحله 2
-
- به عبارت دیگر ، با پایین آمدن سمت "t" معادله از چپ به راست شروع کنید. هر بار که به مقدار "t" می رسید ، 1 را از مقدار نمره کم کرده و کل را در ضرب کننده اصلی ضرب کنید. هر ثابت (متغیرهایی که "t" ندارند) از بین می روند زیرا در 0 ضرب می شوند. این فرایند آنقدرها هم که تصور می شود دشوار نیست ، بیایید معادله را در مرحله بالا به عنوان مثال بدست آوریم:
s = -1.5t2+10t+4
(2) -1.5t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
مرحله 2. متغیر "s" را با "ds/dt" جایگزین کنید
"برای نشان دادن این که معادله جدید شما مشتق شده از معادله قبلی است ،" s "را با" ds/dt "جایگزین کنید. از لحاظ فنی ، این علامت به معنی" مشتق s از نظر t "است. راه ساده تری برای درک این امر این است که ds /dt مقدار شیب (شیب) در هر نقطه از معادله اول است ، به عنوان مثال ، برای تعیین شیب یک خط از معادله s = -1.5t2 + 10t + 4 در t = 5 ، می توانیم مقدار "5" را به معادله مشتق وصل کنیم.
- در مثال مورد استفاده ، اولین معادله مشتق به این شکل است:
ds/sec = -3t + 10
مرحله 3. مقدار t را به معادله جدید وصل کنید تا مقدار سرعت آنی بدست آید
اکنون که معادله مشتق شده را دارید ، یافتن سرعت آنی در هر نقطه آسان است. تنها کاری که باید انجام دهید این است که مقدار t را انتخاب کرده و آن را به معادله مشتق خود وصل کنید. به عنوان مثال ، اگر می خواهید سرعت آنی را در t = 5 پیدا کنید ، می توانید مقدار t را با "5" در معادله مشتق ds/dt = -3 + 10 جایگزین کنید. سپس معادله را به این صورت حل کنید:
ds/sec = -3t + 10
ds/sec = -3 (5) + 10
ds/sec = -15 + 10 = - 5 متر در ثانیه
توجه داشته باشید که واحد مورد استفاده در بالا "متر/ثانیه" است. از آنجا که آنچه ما محاسبه می کنیم جابجایی در متر و زمان در ثانیه (ثانیه) و سرعت به طور کلی جابجایی در یک زمان خاص است ، این واحد برای استفاده مناسب است
روش 2 از 3: برآورد گرافیکی سرعت لحظه ای
مرحله 1. رسم نمودار جابجایی جسم در طول زمان
در بخش بالا ، مشتق به عنوان فرمول برای پیدا کردن شیب در یک نقطه معادل برای معادله ای که مشتق می شوید ذکر شده است. در واقع ، اگر جابجایی یک جسم را به صورت یک خط روی نمودار نشان دهید ، "شیب خط در همه نقاط برابر با مقدار سرعت لحظه ای آن در آن نقطه است."
- برای توصیف جابجایی یک شی ، از x برای نشان دادن زمان و y برای نمایش جابجایی استفاده کنید. سپس نقاط را بکشید ، مقدار t را به معادله خود وصل کنید ، بنابراین مقدار s را برای نمودار خود بدست آورید ، t ، s را در نمودار به عنوان (x ، y) علامت گذاری کنید.
- توجه داشته باشید که نمودار شما می تواند زیر محور x باشد. اگر خطی که حرکت جسم شما را نشان می دهد به زیر محور x برسد ، بدین معنی است که جسم از موقعیت اولیه خود به عقب حرکت کرده است. به طور کلی ، نمودار شما به پشت محور y نخواهد رسید - زیرا ما سرعت جسمی را که در حال حرکت است اندازه نمی گیریم!
مرحله 2. نقطه مجاور P و Q را در خط انتخاب کنید
برای بدست آوردن شیب خط در نقطه P می توان از ترفندی به نام "گرفتن حد" استفاده کرد. گرفتن حد شامل دو نقطه (P و Q ، نقطه ای در نزدیکی) در خط منحنی و یافتن شیب خط با چندین بار اتصال آنها تا نزدیک شدن فاصله P و Q.
فرض کنید خط جابجایی شی شامل مقادیر (1 ، 3) و (4 ، 7) است. در این حالت ، اگر بخواهیم شیب را در نقطه (1 ، 3) پیدا کنیم ، می توانیم تعیین کنیم (1 ، 3) = P و (4 ، 7) = Q.
مرحله 3. شیب بین P و Q را پیدا کنید
شیب بین P و Q تفاوت در مقدار y برای P و Q در طول اختلاف مقدار x برای P و Q است. به عبارت دیگر ، H = (yس - yپ)/(ایکسس - ایکسپ) ، جایی که H شیب بین دو نقطه است. در مثال ما ، مقدار شیب بین P و Q برابر است
H = (yس- yپ)/(ایکسس- ایکسپ)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
مرحله 4. چندین بار تکرار کنید ، Q را به P نزدیک کنید
هدف شما این است که فاصله P و Q را شبیه به نقطه کاهش دهید. هرچه فاصله بین P و Q نزدیکتر باشد ، شیب خط در نقطه P نزدیکتر است ، این کار را چندین بار با معادله ای که به عنوان مثال استفاده می شود انجام دهید ، با استفاده از نقاط (2 ، 4.8) ، (1.5 ، 3.95) و (1.25 ، 3.49) به عنوان Q و نقطه شروع (1 ، 3) به عنوان P:
Q = (2 ، 4.8):
H = (4.8 - 3)/(2 - 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8
Q = (1.5 ، 3.95):
H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
H = (.95)/(. 5) = 1.9
Q = (1.25 ، 3.49):
H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)
H = (.49)/(.. 25) = 1.96
مرحله 5. شیب خط را برای فاصله بسیار کم برآورد کنید
همانطور که Q به P نزدیک می شود ، H به مقدار شیب نقطه P نزدیکتر می شود. در نهایت ، وقتی به مقدار بسیار کمی برسد ، H برابر است با شیب P. از آنجا که ما نمی توانیم فاصله های بسیار کوچک را اندازه گیری یا محاسبه کنیم ، ما فقط می توانیم شیب P را پس از مشخص شدن از نقطه ای که سعی می کنیم برآورد کنیم.
- در مثال ، وقتی Q را به P نزدیک می کنیم ، مقادیر 1.8 ، 1.9 و 1.96 را برای H. بدست می آوریم از آنجا که این اعداد نزدیک به 2 هستند ، می توان گفت که 2 شیب تقریبی P است.
- به یاد داشته باشید که شیب در هر نقطه از خط برابر مشتق معادله خط است. از آنجا که خط مورد استفاده جابجایی یک جسم را در طول زمان نشان می دهد ، و چون همانطور که در قسمت قبل دیدیم ، سرعت لحظه ای یک جسم مشتق شده از جابجایی آن در یک نقطه معین است ، ما همچنین می توانیم بیان کنیم که "2 متر در ثانیه "مقدار تقریبی سرعت لحظه ای در t = 1 است.
روش 3 از 3: نمونه سوالات
مرحله 1. مقدار سرعت لحظه ای را در t = 4 ، از معادله جابجایی s = 5t پیدا کنید3 - 3t2 +2t+9.
این مشکل همانند مثال قسمت اول است ، با این تفاوت که این معادله یک معادله مکعبی است ، نه یک معادله توان ، بنابراین ما می توانیم این مشکل را به همان روش حل کنیم.
- ابتدا مشتق معادله را می گیریم:
- سپس مقدار t (4) را وارد کنید:
s = 5t3- 3t2+2t+9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 متر بر ثانیه
مرحله 2. برای برآورد سرعت لحظه ای در (1 ، 3) برای معادله جابجایی s = 4t از یک برآورد گرافیکی استفاده کنید.2 - تی
برای این مشکل ، از (1 ، 3) به عنوان نقطه P استفاده خواهیم کرد ، اما باید نقطه دیگری را در مجاورت آن نقطه به عنوان نقطه Q تعریف کنیم. سپس ما فقط باید مقدار H را تعیین کرده و برآوردی انجام دهیم.
- ابتدا مقدار Q را در t = 2 ، 1.5 ، 1.1 و 1.01 پیدا کنید.
- سپس مقدار H را تعیین کنید:
- از آنجا که مقدار H بسیار نزدیک به 7 است ، می توانیم آن را بیان کنیم 7 متر در ثانیه سرعت لحظه ای تقریبی در (1 ، 3) است.
s = 4t2- تی
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14 ، بنابراین Q = (2 ، 14)
t = 1.5:
s = 4 (1.5)2 - (1.5)
4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5 ، بنابراین Q = (1.5 ، 7.5)
t = 1.1:
s = 4 (1.1)2 - (1.1)
4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74 ، بنابراین Q = (1.1 ، 3.74)
t = 1.01:
s = 4 (1.01)2 - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704 ، بنابراین Q = (1.01 ، 3.0704)
Q = (2 ، 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
مرحله 11
Q = (1.5 ، 7.5):
H = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)
H = (4.5)/(. 5) =
مرحله 9
Q = (1.1 ، 3.74):
H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)
H = (.74)/(. 1) = 7.3
Q = (1.01 ، 3.0704):
H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04
نکات
- برای یافتن مقدار شتاب (تغییر سرعت در طول زمان) ، از روش قسمت اول استفاده کنید تا معادله مشتق تابع جابجایی را بدست آورید. سپس دوباره معادله مشتق شده را ایجاد کنید ، این بار از معادله مشتق شده خود. این به شما این معادله را می دهد که شتاب را در هر زمان مشخص پیدا کنید ، تنها کاری که باید انجام دهید این است که مقدار زمان خود را وارد کنید.
- معادله مربوط به مقدار Y (جابجایی) به X (زمان) ممکن است بسیار ساده باشد ، به عنوان مثال Y = 6x + 3. در این حالت ، مقدار شیب ثابت است ، و نیازی به یافتن مشتق برای محاسبه آن نیست. ، که طبق معادله یک خط مستقیم ، Y = mx + b برابر 6 خواهد بود.
- جابجایی شبیه فاصله است ، اما جهت دارد ، بنابراین جابجایی یک مقدار بردار است ، در حالی که فاصله یک مقدار مقیاس پذیر است. مقدار جابجایی می تواند منفی باشد ، اما فاصله همیشه مثبت خواهد بود.
