6 روش برای محاسبه حجم

2024 نویسنده: Jason Gerald | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-15 08:13

حجم یک جسم نشان دهنده فضای سه بعدی اشغال شده توسط جسم است. همچنین می توانید حجم را مقدار آب (یا هوا ، یا ماسه و غیره) که یک شکل در صورت پر شدن کامل شکل می تواند در نظر بگیرد تصور کنید. واحدی که معمولاً برای حجم استفاده می شود سانتی متر مکعب (سانتی متر) است³) ، متر مکعب (متر³) ، اینچ مکعب (در³) ، و فوت مکعب (فوت³) در این مقاله نحوه محاسبه حجم شش شکل مختلف سه بعدی که اغلب در امتحانات ریاضی یافت می شوند ، از جمله مکعب ، کروی و مخروط به شما آموزش داده می شود. ممکن است توجه داشته باشید که بسیاری از این فرمول های حجم چیزی مشترک دارند ، بنابراین به راحتی به خاطر سپرده می شوند. ببینید آیا می توانید به این موضوع پی ببرید!

اطلاعات در یک نگاه: محاسبه حجم فرم های رایج

1. برای یک مکعب یا مربع جامد ، طول ، عرض و ارتفاع را اندازه بگیرید و سپس همه آنها را با هم ضرب کنید تا حجم بدست آید. تصاویر و جزئیات را مشاهده کنید.
2. ارتفاع لوله و شعاع پایه آن را اندازه گیری کنید. از این شعاع برای پیدا کردن مساحت پایه با استفاده از فرمول r استفاده کنید²، سپس نتیجه را در ارتفاع لوله ضرب کنید. تصاویر و جزئیات را مشاهده کنید.
3. هرم استاندارد حجمی برابر با x مساحت پایه x ارتفاع دارد. تصاویر و جزئیات را مشاهده کنید.
4. حجم مخروط را می توان با استفاده از فرمول r محاسبه کرد²h ، جایی که r شعاع پایه و h ارتفاع مخروط است. تصاویر و جزئیات را مشاهده کنید.

5. برای اندازه گیری حجم یک کره ، تنها چیزی که نیاز دارید شعاع آن r است. این مقدار را به فرمول وصل کنید ⁴/₃r³به تصاویر و جزئیات را مشاهده کنید.

   گام

   روش 1 از 6: محاسبه حجم یک مکعب

   

   مرحله 1. شکل یک مکعب را بدانید

   مکعب یک شکل سه بعدی است که دارای شش ضلع مربع مساوی است. به عبارت دیگر ، یک مکعب یک جعبه است که همه طرف آن به یک اندازه است.

   قالب 6 طرفه نمونه ای از مکعبی است که ممکن است در خانه خود پیدا کنید. بلوک های قندی و بلوک های حروف اسباب بازی کودکان معمولاً مکعب هستند

   

   مرحله 2. فرمول حجم مکعب را بیاموزید

   فرمول ساده V = s3 است ، جایی که V نشان دهنده حجم و s نشان دهنده طول جانبی مکعب است.

   برای پیدا کردن s³، a را در مقدار خود 3 برابر ضرب کنید: s³ = s * s * s

   

   مرحله 3. طول یک طرف مکعب را اندازه بگیرید

   بسته به وظیفه شما ، ممکن است مکعب این اطلاعات را زیرنویس کرده باشد ، یا باید طول خطوط را با خط کش اندازه بگیرید. به خاطر داشته باشید که از آنجا که این مکعب است ، تمام طول ضلع ها یکسان خواهد بود ، بنابراین مهم نیست که کدام طرف را اندازه گیری می کنید.

   اگر 100٪ مطمئن نیستید که شکل شما یک مکعب است ، هر طرف را اندازه بگیرید تا ببینید آیا اندازه آن یکسان است. اگر آنها یکسان نیستند ، باید از روش زیر برای محاسبه حجم بلوک استفاده کنید

   

   مرحله 4. طول طرف را به فرمول V = s وصل کنید³ و بشمار

   به عنوان مثال ، اگر طول کناره های مکعب شما 5 اینچ باشد ، فرمول را به این صورت می نویسید: V = (5 اینچ)³به 5 اینچ * 5 اینچ * 5 اینچ = 125 اینچ³، این حجم مکعب ماست!

   

   مرحله 5. نتیجه را با واحد مکعب بیان کنید

   در مثال بالا ، طول ضلع مکعب ما بر حسب اینچ اندازه گیری می شود ، بنابراین واحد حجم بر اینچ مکعب است. به عنوان مثال ، اگر طول طرف 3 سانتی متر باشد ، حجم V = (3 سانتی متر) است³، یا V = 27 سانتی متر³.

   روش 2 از 6: محاسبه حجم بلوک

   

   مرحله 1. شکل یک بلوک را بدانید

   یک بلوک ، که منشور مستطیلی نیز نامیده می شود ، یک شکل سه بعدی با شش ضلع است که همه مستطیل هستند. به عبارت دیگر ، بلوک یک شکل مستطیلی سه بعدی یا شکل یک جعبه است.

   یک مکعب فقط یک بلوک ویژه است که همه طرف ها به یک اندازه هستند

   

   مرحله 2. فرمول محاسبه حجم مکعب را بیاموزید

   فرمول حجم مکعب حجم = طول * عرض * ارتفاع ، یا V = plt است.

   

   مرحله 3. طول بلوک را پیدا کنید

   این طول طولانی ترین قسمت طرف تیر است که موازی با سطحی است که تیر بر روی آن قرار گرفته است. این طول ممکن است در نمودار ذکر شده باشد ، یا ممکن است مجبور باشید آن را با خط کش یا اندازه گیری نوار اندازه بگیرید.

   • مثال: طول این بلوک 4 اینچ است ، بنابراین p = 4 اینچ.
   • بیش از حد نگران طول ، عرض و ارتفاع کدام طرف نباشید. تا زمانی که از سه اندازه گیری متفاوت استفاده می کنید ، نتیجه نهایی بدون توجه به نحوه سفارش آنها یکسان خواهد بود.

   

   مرحله 4. عرض تیر را پیدا کنید

   عرض تیر اندازه گیری ضلع کوتاه تر جامد به موازات محل قرارگیری تیر است. باز هم ، برچسبی را در نمودار جستجو کنید که عرض آن را نشان دهد ، یا خودتان آن را با خط کش یا نوار اندازه گیری کنید.

   • مثال: عرض این بلوک 3 اینچ است ، بنابراین l = 3 اینچ.
   • اگر بلوک ها را با خط کش یا نوار اندازه گیری می کنید ، مطمئن شوید که این کار را با استفاده از واحدهای مشابه انجام می دهید. یک طرف را به اینچ و طرف دیگر را به سانتیمتر اندازه نگیرید. همه اندازه گیری ها باید از واحدهای یکسانی استفاده کنند!

   

   مرحله 5. ارتفاع بلوک را پیدا کنید

   این ارتفاع فاصله از سطح تیر قرار گرفته تا بالای تیر است. اطلاعات ارتفاع موجود در نمودار خود را جستجو کنید یا خود را با خط کش یا اندازه گیری نوار اندازه بگیرید.

   مثال: ارتفاع این بلوک 6 اینچ است ، بنابراین t = 6 اینچ

   

   مرحله 6 اندازه گیری های مکعبی را به فرمول حجم وصل کرده و محاسبه کنید

   به یاد داشته باشید که V = plt.

   در مثال ما ، p = 4 ، l = 3 و t = 6. بنابراین ، V = 4 * 3 * 6 ، یا 72

   

   مرحله 7. مطمئن شوید که نتیجه را در واحد مکعب یادداشت می کنید

   از آنجا که بلوک نمونه ما بر حسب اینچ اندازه گیری می شود ، حجم آن باید 72 اینچ مکعب یا 72 اینچ نوشته شود³.

   اگر اندازه های مکعب ما عبارتند از: طول = 2 سانتی متر ، عرض = 4 سانتی متر و ارتفاع = 8 سانتی متر ، پس حجم بلوک 2 سانتی متر * 4 سانتی متر * 8 سانتی متر ، یا 64 سانتی متر است³.

   روش 3 از 6: محاسبه حجم لوله

   

   مرحله 1. شکل لوله را مشخص کنید

   لوله یک شکل سه بعدی است با دو انتهای مسطح یکسان که به شکل دایره هستند و یک طرف خمیده که این دو را به هم متصل می کند.

   قوطی نمونه ای از لوله است ، مانند باتری های AA یا AAA

   

   مرحله 2. فرمول حجم استوانه را به خاطر بسپارید

   برای محاسبه حجم استوانه ، باید ارتفاع و شعاع دایره پایه (فاصله از مرکز دایره تا لبه ها) را در بالا و پایین بدانید. فرمول V = r است²t ، جایی که V حجم است ، r شعاع دایره پایه ، t ارتفاع است و مقدار ثابت pi است.

   • در برخی از مسائل هندسی ، پاسخ در مورد pi خواهد بود ، اما در بیشتر موارد ، ما می توانیم عدد pi را به 3 ، 14 برسانیم. این را با مربی خود تأیید کنید تا ببینید کدام یک را ترجیح می دهد.
   • فرمول یافتن حجم استوانه در واقع بسیار شبیه فرمول حجم مکعب است: شما فقط ارتفاع شکل را در سطح پایه ضرب می کنید. در فرمول مکعبی ، این سطح p * l است ، در حالی که برای یک استوانه r است²، یعنی مساحت یک دایره با شعاع r.

   

   مرحله 3. شعاع پایه را پیدا کنید

   اگر در نمودار آمده است ، از مقدار استفاده کنید. اگر قطر به جای شعاع داده شود ، تنها کاری که باید انجام دهید تقسیم بر 2 است تا از مقدار شعاع (d = 2r) مطلع شوید.

   

   مرحله 4. اگر شعاع داده نشود ، جسم را اندازه بگیرید

   توجه داشته باشید که اندازه گیری دقیق لوله می تواند بسیار دشوار باشد. یک راه این است که قسمت پایینی لوله را به سمت بالا با خط کش یا نوار اندازه گیری اندازه گیری کنید. تمام تلاش خود را بکنید تا عرض استوانه را در بیشترین اندازه گیری کنید و برای بدست آوردن شعاع آن بر 2 تقسیم کنید.

   • یک گزینه دیگر برای اندازه گیری دور یک لوله (فاصله اطراف آن) استفاده از نوار اندازه گیری یا یک تکه نخ است که می توانید با خط کش علامت گذاری کرده و طول را اندازه بگیرید. سپس آن اندازه گیری را به فرمول C (دور) = 2πr وصل کنید. محیط را بر 2π (6.28) تقسیم کنید و شعاع را بدست خواهید آورد.
   • به عنوان مثال ، اگر محیطی که اندازه گیری می کنید 8 اینچ باشد ، شعاع آن 1.27 اینچ است.
   • اگر واقعاً به اندازه گیری دقیق نیاز دارید ، می توانید از هر دو روش برای اطمینان از یکسان بودن اندازه گیری های خود استفاده کنید. اگر نه ، هر دو را دوباره بررسی کنید. روش دور معمولاً نتایج دقیق تری می دهد.

   

   مرحله 5. مساحت دایره پایه را محاسبه کنید

   مقدار شعاع پایه را به فرمول r وصل کنید²به سپس ، شعاع را یکبار در خود ضرب کنید ، و دوباره نتیجه را در ضرب کنید. به عنوان مثال:

   • اگر شعاع دایره شما 4 اینچ باشد ، مساحت پایه A = 4 است².
   • 4² = 4 * 4 ، یا 16. 16 * (3.14) = 50.24 اینچ²
   • اگر قطر پایه به جای شعاع داده شده است ، به یاد داشته باشید که d = 2r. برای یافتن شعاع ، فقط باید قطر را به نصف تقسیم کنید.

   

   مرحله 6. ارتفاع لوله را پیدا کنید

   این فاصله بین دو نیمه دایره یا فاصله از سطحی است که لوله روی آن قرار گرفته است. در نمودار خود به دنبال برچسبی باشید که نشان دهنده ارتفاع لوله باشد یا آن را با خط کش یا نوار اندازه گیری کنید.

   

   مرحله 7. مساحت پایه را در ارتفاع استوانه ضرب کنید تا حجم آن را پیدا کنید

   یا می توانید یک مرحله را رد کرده و مقادیر ابعاد لوله را در فرمول V = r وارد کنید²t برای مثال ما با لوله ای که شعاع آن 4 اینچ و ارتفاع آن 10 اینچ است:

   • V = 4²10
   • 4² = 50, 24
   • 50.24 * 10 = 502, 4
   • V = 502 ، 4

   

   مرحله 8. به یاد داشته باشید که پاسخ خود را در واحد مکعب بیان کنید

   لوله نمونه ما بر حسب اینچ اندازه گیری می شود ، بنابراین حجم آن باید بر حسب اینچ مکعب بیان شود: V = 502.4 اینچ³به اگر استوانه ما بر حسب سانتی متر اندازه گیری شود ، حجم آن بر حسب سانتی متر مکعب (سانتی متر) بیان می شود³).

   روش 4 از 6: محاسبه حجم هرم معمولی

   

   مرحله 1. درک کنید که هرم معمولی چیست

   هرم یک شکل سه بعدی است که پایه آن چند ضلعی است و اضلاع جانبی آن در یک محور (راس هرم) به هم می پیوندند. هرم معمولی هرمی است که قاعده آن چند ضلعی استاندارد باشد ، بدین معنی که تمام ضلع های چند ضلعی از نظر طول مساوی بوده و همه زاویه ها یکسان باشند.

   • ما معمولاً تصور می کنیم که هرم دارای چهارگوش است و اضلاع آن به نقطه ای می رسد ، اما در واقع قاعده هرم می تواند 5 ، 6 یا حتی 100 ضلع داشته باشد!
   • هرمی با قاعده مدور مخروط نامیده می شود که در روش بعدی مورد بحث قرار می گیرد.

   

   مرحله 2. فرمول محاسبه حجم هرم معمولی را بیاموزید

   این فرمول V = 1/3bt است ، جایی که b مساحت پایه هرم (شکل چند ضلعی زیر آن) و t ارتفاع هرم یا فاصله عمودی از پایه تا راس است. به

   فرمول حجم هرم راست یکسان است ، جایی که راس مستقیماً بالای مرکز قاعده قرار دارد و برای هرم مورب ، که راس در وسط قرار ندارد

   

   مرحله 3. مساحت پایه را محاسبه کنید

   فرمول این بستگی به تعداد اضلاع پایه هرم دارد. در هرم در نمودار ما ، قاعده مربع است که اضلاع آن 6 اینچ است. به یاد داشته باشید که فرمول مساحت مربع A = s است²، که در آن طول طرف است. بنابراین ، برای این هرم ، سطح پایه (6 اینچ) است ²، یا 36 اینچ².

   • فرمول مساحت مثلث این است: A = 1/2bt ، که در آن b پایه مثلث و t ارتفاع است.
   • می توانید مساحت یک چند ضلعی استاندارد را با استفاده از فرمول A = 1/2pa پیدا کنید ، جایی که A مساحت است ، p محیط شکل است و a آپوتم است ، یا فاصله از نقطه وسط شکل تا نقطه میانی یکی از طرفین آن این محاسبه پیچیده تری است که در این مقاله به آن نمی پردازیم ، اما می توانید از مقاله محاسبه مساحت چند ضلعی دیدن کنید تا دستورالعمل های خوبی در مورد نحوه استفاده از آن بیاموزید. یا ، می توانید این فرآیند را ساده کرده و به صورت آنلاین به دنبال ماشین حساب چند ضلعی باشید.

   

   مرحله 4. ارتفاع هرم را بیابید

   در بیشتر موارد ، این در نمودار نشان داده می شود. در مثال ما ، ارتفاع هرم 10 اینچ است.

   

   مرحله 5. مساحت پایه هرم را در ارتفاع آن ضرب کرده و بر 3 تقسیم کنید تا حجم آن را پیدا کنید

   به یاد داشته باشید که فرمول حجم V = 1/3bt است. در هرم مثال ما ، که دارای مساحت 36 و ارتفاع 10 است ، حجم: 36 * 10 * 1/3 ، یا 120 است.

   اگر از هرم متفاوتی استفاده کنیم ، به عنوان مثال از هرمی که دارای پایه پنج ضلعی است به مساحت 26 و ارتفاع 8 ، حجم آن 1/3 * 26 * 8 = 69 ، 33 خواهد بود

   

   مرحله 6. به یاد داشته باشید که پاسخ خود را در واحد مکعب بیان کنید

   اندازه گیری در هرم نمونه ما بر حسب اینچ است ، بنابراین حجم باید بر حسب اینچ مکعب ، 120 بیان شود. اگر هرم ما بر حسب متر اندازه گیری شود ، حجم باید بر حسب متر مکعب (متر³).

   روش 5 از 6: محاسبه حجم مخروط

   

   مرحله 1. شکل مخروط را بیاموزید

   مخروط یک شکل سه بعدی با قاعده مدور و راس است. راه دیگر برای تصور آن این است که مخروط را هرمی با قاعده مدور در نظر بگیریم.

   اگر راس مخروط دقیقاً در مرکز دایره باشد ، مخروط یک "مخروط واقعی" است. اگر راس دقیقاً در وسط نباشد ، مخروط "مخروط مورب" نامیده می شود. خوشبختانه فرمول محاسبه حجم هر دو یکسان است

   

   مرحله 2. بر فرمول محاسبه حجم مخروط مسلط شوید

   فرمول V = 1/3πr است²t ، جایی که r شعاع قاعده دایره ای مخروط است ، جایی که t ارتفاع است و پی ثابت است که تا 3.14 گرد می شود.

   r بخش² از فرمول به مساحت قاعده مخروط دایره ای اشاره دارد. بنابراین ، فرمول حجم مخروط 1/3bt است ، درست مانند فرمول حجم هرم در روش قبلی!

   

   مرحله 3. مساحت قاعده مدور مخروط را محاسبه کنید

   برای انجام این کار ، باید شعاع را بدانید ، که باید قبلاً در نمودار شما نوشته شده باشد. اگر فقط قطر به شما داده می شود ، آن مقدار را بر 2 تقسیم کنید ، زیرا قطر 2 برابر شعاع آن است (d = 2r). سپس مقدار شعاع را در فرمول A = r وارد کنید² برای محاسبه مساحت

   • در مثال در نمودار ، شعاع قاعده مخروط 3 اینچ است. وقتی آن را به فرمول وصل می کنیم ، سپس: A = 3².
   • 3² = 3 *3 ، یا 0 ، بنابراین A = 9π.
   • A = 28 ، 27 اینچ²

   

   مرحله 4. ارتفاع مخروط را پیدا کنید

   این فاصله عمودی بین قاعده مخروط و راس آن است. در مثال ما ، ارتفاع مخروط 5 اینچ است.

   

   مرحله 5. ارتفاع مخروط را در مساحت پایه ضرب کنید

   در مثال ما ، این مساحت 28.27 اینچ است² و ارتفاع 5 اینچ است ، بنابراین bt = 28 ، 27 * 5 = 141 ، 35.

   

   مرحله 6. حالا نتیجه را در 1/3 ضرب کنید (یا می توانید بر 3 تقسیم کنید) تا حجم مخروط را پیدا کنید

   در مرحله بالا ، ما حجم استوانه ای را محاسبه کردیم که اگر دیواره های مخروط به جای تنگ شدن به نقطه ای مستقیماً به یک دایره دیگر کشیده شود ، تشکیل می شود. تقسیم بر 3 حجم خود مخروط را به شما می دهد.

   • در مثال ما ، 141 ، 35 * 1/3 = 47 ، 12 ، این حجم مخروط است.
   • متناوبا ، 1/3π3²5 = 47, 12

   

   مرحله 7. به یاد داشته باشید که پاسخ خود را در واحد مکعب بیان کنید

   مخروط ما بر حسب اینچ اندازه گیری می شود ، بنابراین حجم آن باید بر حسب اینچ مکعب بیان شود: 47.12 اینچ³.

   روش 6 از 6: محاسبه حجم یک توپ

   

   مرحله 1. شکل را بیابید

   کره یک جسم سه بعدی کاملاً کروی است ، جایی که هر نقطه از سطح آن با مرکز آن فاصله یکسانی دارد. به عبارت دیگر ، آنچه در اینجا گنجانده شده است اجسام کروی است.

   

   مرحله 2. فرمول حجم یک کره را بیاموزید

   فرمول حجم این کره V = 4/3πr است³ (بخوانید: "چهار سوم pi r-cube") که r شعاع کره است و ثابت پین است (3 ، 14).

   

   مرحله 3. شعاع کره را پیدا کنید

   اگر شعاع داده شود ، یافتن r فقط یک امر آسان است. اگر قطر داده شده است ، باید مقدار آن را بر 2 تقسیم کنید تا مقدار شعاع را پیدا کنید. به عنوان مثال ، شعاع کره در نمودار ما 3 اینچ است.

   

   مرحله 4. اگر شعاع ناشناخته است توپ را اندازه بگیرید

   اگر برای پیدا کردن شعاع یک شی کروی (مانند یک توپ تنیس) نیاز به اندازه گیری دارید ، ابتدا یک نخ را به اندازه ای بزرگ بگیرید که به دور جسم بپیچید. سپس ، دور جسم در وسیع ترین نقطه آن حلقه کنید و جایی را که رشته دوباره به انتهای آن می رسد ، علامت بزنید. سپس ، رشته را با خط کش اندازه بگیرید تا محیط بیرونی آن پیدا شود. این مقدار را بر 2π یا 6 ، 28 تقسیم کنید و شعاع کره را بدست می آورید.

   • به عنوان مثال ، اگر یک کره را اندازه بگیرید و نقطه محیط 18 اینچ را پیدا کنید ، بر 6.28 تقسیم کنید و شعاع آن 2.87 اینچ می شود.
   • اندازه گیری اجسام کروی می تواند کمی دشوار باشد ، بنابراین مطمئن شوید که 3 زمان مختلف را اندازه گیری کرده اید و میانگین را بگیرید (هر سه اندازه گیری را جمع کنید ، سپس بر 3 تقسیم کنید) تا مطمئن شوید که دقیق ترین مقدار را بدست آورده اید.
   • برای مثال ، اگر اندازه محیط بیرونی شما 18 اینچ ، 17.75 اینچ و 18.2 اینچ است ، همه آنها را جمع کنید (18 + 17.5 + 18 ، 2 = 53.95) و نتیجه را بر 3 تقسیم کنید (53.95/3 = 17، 98). از این میانگین در محاسبات حجم خود استفاده کنید.

   

   مرحله 5. شعاع را مکعب کنید تا r را بیابید³.

   این بدان معناست که شما باید آن را در عدد خود 3 بار ضرب کنید ، بنابراین r³ = r * r * r در مثال ما ، r = 3 ، بنابراین r³ = 3 * 3 * 3 ، یا 27.

   

   مرحله 6. اکنون پاسخ خود را در 4/3 ضرب کنید

   می توانید از ماشین حساب استفاده کنید ، یا می توانید آن را به صورت دستی محاسبه کرده و کسر را ساده کنید. در مثال ما ، ضرب 27 در 4/3 = 108/3 ، یا 36.

   

   مرحله 7. برای یافتن حجم کره ، نتیجه را ضرب کنید

   آخرین مرحله در محاسبه حجم ضرب در نتیجه است. گرد کردن به دو رقم معمولاً برای اکثر مسائل ریاضی کافی است (مگر اینکه معلم شما چیز دیگری بگوید) ، بنابراین در 3 ، 14 ضرب کنید و جواب را خواهید یافت.

   در مثال ما ، 36 * 3 ، 14 = 113 ، 09

   

   مرحله 8. پاسخ خود را در واحد مکعب بیان کنید

   در مثال ما ، شعاع کره بر حسب اینچ اندازه گیری می شود ، بنابراین پاسخ واقعی ما V = 113.09 اینچ مکعب (113.09 اینچ) است.³).