نحوه تکمیل مربع (همراه با تصاویر)

2024 نویسنده: Jason Gerald | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 02:39

تکمیل مربع ها یک تکنیک مفید است که به شما کمک می کند معادلات درجه دوم را در یک فرم مرتب قرار دهید ، که باعث می شود آنها را ببینید یا حتی حل کنید. برای ساختن فرمول های درجه دوم پیچیده تر و یا حل معادلات درجه دوم می توانید مربع ها را تکمیل کنید. اگر می خواهید بدانید چگونه این کار را انجام دهید ، این مراحل را دنبال کنید.

گام

قسمت 1 از 2: تبدیل معادلات معمولی به توابع درجه دوم

مرحله 1. معادله را بنویسید

فرض کنید می خواهید معادله زیر را حل کنید: 3x² - 4x + 5.

مرحله 2. ضرایب متغیرهای درجه دو را از دو قسمت اول خارج کنید

برای بدست آوردن عدد 3 از دو قسمت اول ، فقط کافیست عدد 3 را بیرون آورده و در خارج از پرانتز قرار دهید و هر قسمت را بر 3 تقسیم کنید. 3x² تقسیم بر 3 x است² و 4x تقسیم بر 3 4/3x است. بنابراین ، معادله جدید می شود: 3 (x² - 4/3x) + 5. عدد 5 خارج از معادله باقی می ماند زیرا بر عدد 3 تقسیم نمی شود.

مرحله 3. قسمت دوم را بر 2 تقسیم کرده و آن را مربع کنید

قسمت دوم یا آنچه در معادله به عنوان b شناخته می شود 3/4 است. تقسیم بر دو. 4/3 2 ، یا 4/3 x 1/2 ، برابر 2/3 است. اکنون ، این بخش را با مربع کردن کسر و مخرج کسر تقسیم کنید. (2/3)² = 4/9 آن را بنویسید.

مرحله 4. این قسمتها را از معادله اضافه و تفریق کنید

شما به این قسمت اضافی نیاز دارید تا معادله را به یک مربع کامل برگردانید. با این حال ، برای جمع کردن آنها ، باید آنها را از بقیه معادله کم کنید. اگرچه ، به نظر می رسد که شما به معادله اصلی خود باز می گردید. معادله شما به این شکل است: 3 (x² - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.

مرحله 5. قسمتی را که از براکت ها کم کرده اید بردارید

از آنجا که ضریب 3 خارج از پرانتز دارید ، نمی توانید فقط -4/9 را خروجی بگیرید. ابتدا باید آن را در 3 ضرب کنید. -4/9 x 3 = -12/9 ، یا -4/3. اگر در قسمت x ضریب 1 دارید²، سپس می توانید این مرحله را رد کنید.

مرحله 6. قسمت داخل براکت ها را به یک مربع کامل تغییر دهید

در حال حاضر 3 عدد وجود دارد (x² -4/3x +4/9) در براکت. شما قبلاً سعی کرده اید 4/9 را دریافت کنید ، که در واقع راهی دیگر برای تکمیل مربع است. بنابراین می توانید آن را به صورت زیر بنویسید: 3 (x - 2/3)²به تنها کاری که باید انجام دهید تقسیم نیمه دوم و حذف قسمت سوم است. می توانید کار خود را با ضرب آن و ارائه سه قسمت اول معادله بررسی کنید.

• 3 (x - 2/3)² =

  

• 3 (x - 2/3) (x -2/3) =
• 3 [(x² -2/3x -2/3x + 4/9)]
• 3 (x² - 4/3x + 4/9)

مرحله 7. ثابتها را با هم ترکیب کنید

اکنون دو ثابت یا عدد وجود دارد که هیچ متغیری ندارند. اکنون ، 3 دارید (x - 2/3)² - 4/3 + 5. تنها کاری که باید انجام دهید این است که -4/3 و 5 را جمع کنید تا 11/3 دریافت کنید. آنها را با برابر کردن مخرج ها: -4/3 و 15/3 ، و سپس جمع اعداد به طوری که 11 را بدست می آورید و مخرج 3 را ترک می کنید.

• -4/3 + 15/3 = 11/3.

  

مرحله 8. معادله را به صورت درجه دوم بنویسید

شما انجام داده اید. معادله نهایی 3 است (x - 2/3)² +11/3 می توانید ضریب 3 را با تقسیم هر دو طرف معادله حذف کنید (x - 2/3)² +11/9. شما با موفقیت معادله را به صورت درجه دو نوشتید ، یعنی a (x - h)² +k ، جایی که k نشان دهنده یک ثابت است.

قسمت 2 از 2: حل معادلات درجه دوم

مرحله 1. سوالات را بنویسید

فرض کنید می خواهید معادله زیر را حل کنید: 3x² + 4x + 5 = 6

مرحله 2. ثابتهای موجود را ترکیب کرده و آنها را در سمت چپ معادله قرار دهید

ثابت هر عددی است که متغیر نداشته باشد. در این مسئله ثابت در سمت چپ 5 و در سمت راست 6 است. اگر می خواهید 6 را به چپ حرکت دهید ، باید هر دو طرف معادله را از 6 کم کنید. مابقی 0 در سمت راست (6-6) و -1 در سمت چپ (5-6) است. معادله می شود: 3x² + 4x - 1 = 0.

مرحله 3. ضریب متغیر درجه دوم را خروجی دهید

در این مسئله ، 3 ضریب x است²به برای بدست آوردن عدد 3 ، فقط عدد 3 را بیرون آورده و هر قسمت را بر 3 تقسیم کنید. بنابراین ، 3x² 3 = x²، 4x 3 = 4/3x و 1 3 = 1/3. معادله می شود: 3 (x² + 4/3x - 1/3) = 0.

مرحله 4. تقسیم با ثابت شما فقط استخراج شده است

این بدان معناست که می توانید ضریب 3 را حذف کنید زیرا قبلاً هر قسمت را بر 3 تقسیم کرده اید ، می توانید عدد 3 را بدون تأثیر بر معادله حذف کنید. معادله شما x می شود² + 4/3x - 1/3 = 0

مرحله 5. قسمت دوم را بر 2 تقسیم کرده و آن را مربع کنید

بعد ، قسمت دوم ، 4/3 یا قسمت b را بردارید و آن را بر 2 تقسیم کنید. 4/3 2 یا 4/3 x 1/2 ، برابر 4/6 یا 2/3. و 2/3 برابر 4/9 می شود. هنگامی که آن را مربع کردید ، باید آن را در سمت چپ و راست معادله بنویسید زیرا قسمت جدیدی را اضافه می کنید. برای ایجاد تعادل باید آن را در دو طرف بنویسید. معادله x می شود² + 4/3 x + 2/3² - 1/3 = 2/3²

مرحله 6. ثابت اولیه را به سمت راست معادله منتقل کرده و آن را به مربع عدد خود اضافه کنید

ثابت اولیه -1/3 را به راست حرکت دهید و آن را 1/3 کنید. مربع شماره خود را 4/9 یا 2/3 اضافه کنید²به با ضرب کسرهای بالا و پایین 1/3 در 3. یک مخرج مشترک برای افزودن 1/3 و 4/9 پیدا کنید. 1/3 3 3/3 = 3/9. حالا 3/9 و 4/9 را اضافه کنید تا 7/9 در سمت راست معادله بدست آید. معادله می شود: x² + 4/3 x + 2/3² = 4/9 + 1/3 سپس x² + 4/3 x + 2/3² = 7/9.

مرحله 7. سمت چپ معادله را به صورت یک مربع کامل بنویسید

از آنجا که قبلاً از فرمول برای یافتن قطعه گم شده استفاده کرده اید ، قسمت سخت آن حذف شده است. تنها کاری که باید انجام دهید این است که x و نصف مقدار ضریب دوم را در پرانتز قرار دهید و آن را به صورت مربع درآورید ، برای مثال: (x + 2/3)²به توجه داشته باشید که با در نظر گرفتن یک مربع کامل سه قسمت به دست می آید: x² + 4/3 x + 4/9. معادله می شود: (x + 2/3)² = 7/9.

مرحله 8. ریشه مربع هر دو طرف

در سمت چپ معادله ، ریشه مربع (x + 2/3)² x + 2/3 است در سمت راست معادله ، +/- (√7)/3 را دریافت خواهید کرد. ریشه مربع مخرج ، 9 ، 3 و ریشه مربع 7 ، 7 است. فراموش نکنید که +/- بنویسید زیرا ریشه مربع می تواند مثبت یا منفی باشد.

مرحله 9. متغیرها را حرکت دهید

برای جابجایی متغیر x کافی است ثابت 2/3 را به سمت راست معادله منتقل کنید. اکنون ، شما دو پاسخ ممکن برای x دارید: +/- (√7)/3 - 2/3. این دو پاسخ شماست. اگر مجبور هستید پاسخی بدون ریشه مربع بنویسید ، می توانید آن را به حال خود رها کرده یا مقدار ریشه مربع 7 را بیابید.

نکات

• مطمئن شوید که +/- را در محل مناسب بنویسید ، در غیر این صورت تنها یک پاسخ دریافت خواهید کرد.
• حتی بعد از اینکه فرمول درجه دوم را می شناسید ، تمرین کنید که مربع را به طور منظم یا با اثبات فرمول درجه دوم یا حل برخی مشکلات تمرین کنید. به این ترتیب ، هنگام نیاز به روش ، آن را فراموش نخواهید کرد.