نحوه حل مشکلات ریشه مربع (با تصاویر)

2024 نویسنده: Jason Gerald | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-15 08:13

در حالی که گاهی اوقات ممکن است دلهره آور به نظر برسد ، اما حل مشکل مربع در واقع چندان دشوار نیست. مسائل ساده ریشه مربع معمولاً به آسانی به عنوان مسائل اصلی ضرب و تقسیم حل می شوند. برای سوالات پیچیده تر ، کمی تلاش بیشتری نیاز است. اما با رویکرد مناسب ، هر مشکل دشواری قابل حل است. از طریق این مقاله ما به شما کمک می کنیم مشکلات ریشه مربع را در چند مرحله آسان حل کنید.

گام

قسمت 1 از 3: درک مربع و ریشه های مربع

مرحله 1. مربع عددی است که در خود عدد ضرب می شود

برای درک ریشه مربع ، خوب است ابتدا معنی مربع را درک کنید. به بیان ساده ، مربع یک عدد ضرب در خود عدد است. به عنوان مثال ، 3 مربع 3 برابر 3 = 9 و 9 مربع 9 برابر 9 = 81 است. مربع با 2 کوچک در بالا سمت راست عدد نشان داده شده است - مانند این: 3², 9², 100²، و غیره.

سعی کنید برخی اعداد دیگر را برای آزمایش این مفهوم مربع کنید. به یاد داشته باشید ، مربع کردن یک عدد ، یک عدد را به خودی خود ضرب می کند. حتی می توانید اعداد منفی را نیز مربع کنید. نتیجه همیشه یک عدد مثبت خواهد بود. به عنوان مثال ، -8² = -8 × -8 = 64.

مرحله 2. ریشه مربع متقابل مربع است

نماد ریشه مربع (√ ، همچنین به عنوان نماد "رادیکال" شناخته می شود) در اصل مخالف نماد است ²به هنگامی که یک فرد رادیکال را پیدا می کنید ، از خود بپرسید: چه عددی ، در صورت مربع ، منجر به عددی در داخل رادیکال می شود؟ به عنوان مثال ، اگر به √ (9) نگاه کنید ، عددی را که در مربع قرار می گیرد نه پیدا کنید. بنابراین ، پاسخ "سه" است ، زیرا 3² = 9.

• به عنوان مثال دیگر ، بیایید سعی کنیم ریشه مربع 25 (√ (25)) را بیابیم. یعنی ما به دنبال عددی هستیم که در صورت مربع شدن نتیجه 25 باشد. زیرا 5² = 5 × 5 = 25 ، سپس (25) =

  مرحله 5.

• ریشه مربع را نیز می توان "واگرد" مربع در نظر گرفت. به عنوان مثال ، اگر می خواهیم (64) ، ریشه مربع 64 را بیابیم ، پس 64 را 8 در نظر بگیرید²به از آنجا که نماد ریشه مربع اساساً نماد مربع را "نفی" می کند ، بنابراین (64) = (8)²) =

  مرحله 8.

مرحله 3. تفاوت مربع های کامل و ناقص را بدانید

تا کنون ، نتایج محاسبات ریشه مربع ما اعداد صحیح بود. س Theالاتی که بعداً با آنها روبرو خواهید شد به این سادگی ها نخواهد بود ، س questionsالاتی با پاسخ اعداد اعشاری با چند رقم پشت ویرگول وجود دارد. اعدادی که پس از مربع گرد شدن (یعنی نه اعداد کسری یا اعشاری) گرد می شوند ، "مربع کامل" نیز نامیده می شوند. همه مثالهای قبلی (9 ، 25 و 64) مربع های کاملی هستند زیرا اگر آنها در مربع قرار بگیرند ، نتیجه یک عدد کامل (3 ، 5 و 8) است.

از طرف دیگر ، اعدادی که پس از مربع شدن گرد نمی شوند ، "مربع ناقص" هستند. معمولاً ، پس از مربع شدن نتیجه ، یک عدد کسری یا اعشاری است. گاهی اوقات حتی اعداد بسیار پیچیده به نظر می رسند ، مانند (13) = 3, 605551275464…

مرحله 4. مربع اعداد 1-12 را حفظ کنید

همانطور که قبلاً می دانید ، مربع کردن یک عدد مربع کامل بسیار آسان است. به خاطر سپردن مربع اعداد 1 تا 12 می تواند بسیار مفید باشد زیرا این اعداد در مسئله بسیار ظاهر می شوند. بنابراین ، هنگام کار بر روی سوالات ، در وقت خود صرفه جویی خواهید کرد. 12 عدد اول مربع عبارتند از::

• 1² = 1 × 1 =

  مرحله 1

• 2² = 2 × 2 =

  مرحله 4

• 3² = 3 × 3 =

  مرحله 9

• 4² = 4 × 4 =

  مرحله 16

• 5² = 5 × 5 =

  مرحله 25

• 6² = 6 × 6 = 36
• 7² = 7 × 7 = 49
• 8² = 8 × 8 = 64
• 9² = 9 × 9 = 81
• 10² = 10 × 10 = 100
• 11² = 11 × 11 = 121
• 12² = 12 × 12 = 144

مرحله 5. با حذف مربع های کامل ، ریشه مربع را ساده کنید

یافتن ریشه مربع یک عدد مربع ناقص می تواند مشکل باشد ، به خصوص اگر از ماشین حساب استفاده نمی کنید. با این حال ، عدد مورد نظر برای سهولت در محاسبه را می توان ساده کرد. برای انجام این کار ، کافی است عدد داخل رادیکال را به چند عامل جدا کنید ، سپس ریشه مربع اعداد مربع کامل را برداشته و جواب را در خارج از رادیکال بنویسید. انجام این روش بسیار آسان است - برای درک بهتر ، توضیحات بیشتری در اینجا آمده است:

• فرض کنید می خواهیم ریشه مربع 900 را محاسبه کنیم. بنابراین ، به سادگی 900 را به عوامل آن تقسیم کنید. "عوامل" اعدادی هستند که می توانند با هم ضرب شده و عدد دیگری تولید کنند. به عنوان مثال ، عدد 6 را می توان با ضرب و 1 × 6 و 2 × 3 بدست آورد ، بنابراین عوامل 6 عبارتند از 1 ، 2 ، 3 و 6.
• با در نظر گرفتن آن اصل ، بیایید 900 را به عوامل آن تقسیم کنیم. برای شروع ، ما 900 را 9 × 100 می نویسیم. از آنجا که 9 یک مربع کامل است ، می توانیم ریشه مربع 100 را جداگانه بگیریم. (9 × 100) = (9) (100) = 3 × (100). به عبارت دیگر ، (900) = 3√(100).

• ما می توانیم آن را با تفکیک 100 به عوامل آن ، یعنی 25 و 4. ساده تر کنیم. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. بنابراین ، قابل محاسبه (900) = 3 (10) =

  مرحله 30.

مرحله 6. برای ریشه مربع یک عدد منفی از یک عدد خیالی استفاده کنید

فکر کنید ، اگر عدد 16 برآورد شود ، چه عددی است؟ پاسخ ، خیر. همه اعداد مربع شده نتیجه همیشه مثبت است ، زیرا منفی است (-) ، وقتی در منفی ضرب شود نتیجه مثبت (+) است. بنابراین ، برای مربع کردن یک عدد منفی ، باید عدد منفی را با یک عدد خیالی (معمولاً به شکل حروف یا نمادها) جایگزین کنیم. به عنوان مثال ، متغیر "i" به طور کلی برای ریشه مربع -1 استفاده می شود. یک عدد خیالی همیشه در ریشه مربع یک عدد منفی قرار دارد.

لازم به ذکر است که اگرچه اعداد خیالی هرگز با اعداد نشان داده نمی شوند ، اما همچنان می توان آنها را به صورت اعداد به طرق مختلف در نظر گرفت. به عنوان مثال ، ریشه مربع یک عدد منفی می تواند مربع شود تا ریشه مربع حذف شود. به عنوان مثال ، من² = - 1

قسمت 2 از 3: از الگوریتم سبک تقسیم طولانی استفاده کنید

مرحله 1. مشکلات ریشه مربعی مانند مسائل تقسیم طولانی را حل کنید

اگرچه وقت گیر است ، اما مشکلات ریشه ای دشوار را می توان بدون ماشین حساب حل کرد. برای انجام این کار ، ما از یک روش (یا الگوریتم) مشابه تقسیم پشته بلند استفاده می کنیم.

• با نوشتن مساله ریشه مربع همانند مشکل تقسیم طولانی شروع کنید. به عنوان مثال ، ریشه 6 ، 45 را که یک عدد کامل نیست ، بیابید. ابتدا نماد رادیکال (√) را می نویسیم ، سپس در زیر آن عددی را که می خواهیم مربع آن را بگیریم می نویسیم. سپس یک خط روی اعداد بکشید ، درست مانند تقسیم انباشته طولانی. در حال حاضر ، به نظر می رسد نماد "" دارای دم است که در پایین آن عدد 6.45 است.
• ما اعداد بالای مشکل را می نویسیم ، بنابراین مطمئن شوید که فضای خالی بگذارید.

مرحله 2. ارقام عدد را به صورت جفت گروه بندی کنید

ابتدا ، ارقام عدد زیر رادیکال را به جفت گروه بندی کنید ، از نقطه اعشار شروع کنید. برای ردیابی آسان نوعی نشانگر (نقطه ، کاما ، خط و غیره) بین جفت ها ایجاد کنید.

در مسئله مثال ، 6 ، 45 به تقسیم می شود 6-, 45-00 به به یاد داشته باشید که ارقام "باقی مانده" در سمت چپ وجود دارد - این مشکلی نیست.

مرحله 3. بزرگترین عددی را پیدا کنید که مقدار مربع آن کمتر یا مساوی با گروه اول باشد

با اولین شماره در گروه سمت چپ شروع کنید. بزرگترین عددی را انتخاب کنید که مقدار مربع آن در گروه کمتر یا مساوی باشد. به عنوان مثال ، اگر گروه 37 نفر است ، 6 را به دلیل 6 انتخاب کنید² = 36 <37 اما 7² = 49> 37. این عدد را بالای گروه اول بنویسید. این عدد اولین رقم پاسخ شما است.

• در مسئله مثال ، گروه اول 6 ، 45-00 6 است. بزرگترین عددی که در مربع کوچکتر یا مساوی 6 است

  گام 2. - 2² = 4. عدد "2" را بالای 6 بنویسید و دم آن رادیکال است.

مرحله 4. عددی را که تازه یادداشت کرده اید ضرب کنید ، سپس آن را پایین بیاورید و سپس از آن کم کنید

اولین رقم پاسخ خود را (که در بالای رادیکال نوشته شده است) بردارید و آن را ضرب کنید. پاسخ را در زیر گروه اول بنویسید و تفریق کنید تا تفاوت را بیابید. گروه بعدی را در سمت راست تفاوتی که تازه محاسبه کرده اید رها کنید. در نهایت ، آخرین رقم ضرب اولین رقم پاسخ خود را در سمت چپ بنویسید و در سمت راست جای خالی بگذارید.

در مسئله مثال ، عددی که دو برابر می شود 2 است (اولین رقم پاسخ قبلی). 2 × 2 = 4. سپس ، 4 را بر 6 کم کنید (از گروه اول). 6 - 4 نتیجه 2 است. سپس ، گروه بعدی (45) را پایین بیاورید و 245 را بدست می آوریم. در نهایت ، دوباره عدد 4 را در سمت چپ بنویسید و در سمت راست کمی فضای خالی بگذارید ، مانند این: 4_

مرحله 5. جای خالی را پر کنید

اعداد را در سمت راست شماره ای که در سمت چپ نوشته اید اضافه کنید. رقمی را انتخاب کنید که با ضرب در این عدد جدید بزرگترین مقدار را بدهد ، اما هنوز کوچکتر یا مساوی "عدد مشتق شده" باشد. به عنوان مثال ، اگر "عدد مشتق شده" 1700 باشد و شماره سمت چپ شما 40_ باشد ، عددی که باید وارد شود "4" است زیرا 404 × 4 = 1616 <1700 ، در حالی که 405 × 5 = 2025. عدد موجود در این مرحله دومین رقم پاسخ شماست ، بنابراین آن را بالای نماد رادیکال بنویسید.

• در مثال مثال ، ما به دنبال عددی در کنار 4_ × هستیم که پاسخ آن بزرگترین عدد است اما کمتر یا مساوی 245 است.

  مرحله 5 به 5 45 45 = 225 ، در حالی که 6 46 46 = 276.

مرحله 6. برای یافتن پاسخ خود از اعداد "فضای خالی" استفاده کنید

الگوی تقسیم انباشته طولانی را ادامه دهید تا زمانی که تفاوت بین تفریق اعداد مشتق شده صفر باشد یا عدد نسبتاً دقیقی بدست آمده باشد. پس از اتمام کار ، اعدادی که برای پر کردن جاهای خالی در هر مرحله استفاده می کردید (بعلاوه اولین عددی که استفاده کردید) هر رقم پاسخ شما را تشکیل می دهد.

• در مثال مثال ، 245 را در 220 کم کنید تا عدد 20 بدست آید. سپس ، گروه بعدی ارقام ، 00 و 2000 را پایین می آوریم. عدد بالای نماد رادیکال را ضرب کرده و 25 × 2 = 50 را بدست می آوریم. در جاهای خالی 50_ × _ =/<2 ، 000 ، عدد را دریافت می کنیم

  مرحله 3 به اکنون ، "253" را در بالای نماد رادیکال قرار داده ایم - این روند را دوباره تکرار کنید و در رقم بعدی 9 را دریافت کنید.

مرحله 7. علامت اعشاری را از مبدا بردارید

برای دریافت پاسخ نهایی ، نقطه اعشار را در موقعیت صحیح قرار دهید. این آسان است - فقط نقطه اعشار را در راستای نقطه اعشار زیر نماد رادیکال قرار دهید. به عنوان مثال ، عدد زیر رادیکال 49 ، 8 است ، بنابراین یک عدد اعشاری بین اعداد بالای 8 و 9 قرار دهید.

در مسئله مثال ، اگر عدد زیر رادیکال 6 ، 45 باشد ، نقطه اعشار بین ارقام 2 و 5 در خط خواهد بود. این بدان معناست که پاسخ نهایی 2, 539.

قسمت 3 از 3: مربعات ناقص را به سرعت تخمین بزنید

مرحله 1. با استفاده از تقریب ، مربع ناقص را بیابید

هنگامی که مربع های کامل را به خاطر سپردید ، پیدا کردن مربع های ناقص بسیار ساده تر خواهد بود. ترفند این است که قبل و بعد از عددی که به دنبال آن هستید یک مربع کامل پیدا کنید. سپس ، تعیین کنید که کدام یک از دو مربع کامل به عددی که به دنبال آن هستید نزدیکتر است.

به عنوان مثال ، ما می خواهیم ریشه مربع 40 را بیابیم. عدد مربع کامل قبل و بعد از 40 6 است² و 7²، که 36 و 49 است. از آنجا که 40 بزرگتر از 36 و کمتر از 49 است ، ریشه مربع 40 باید بین 6 و 7 باشد. عدد 40 به 36 از 49 نزدیکتر است ، بنابراین ریشه مربع 40 نزدیک به 6 است در اینجا چند مرحله برای یافتن پاسخ دقیق وجود دارد.

مرحله 2. ریشه مربع را پس از کاما به یک رقم برآورد کنید

هنگامی که دو عدد مربع کامل را قبل و بعد از عددی که به دنبال آن هستید تعیین کرده اید ، بقیه مراحل یافتن عددی است که در پشت کاما نزدیک ترین به جواب است. پس از ویرگول با شماره تخمینی یک رقمی شروع کنید. این روند تا زمانی که پاسخی با دقت مورد نظر خود دریافت نکنید ، تکرار می شود.

در مسئله مثال ، تقریب منطقی ریشه مربع 40 برابر است 6, 4 ، زیرا پاسخ به احتمال زیاد نزدیک به 6 است تا 7.

مرحله 3. عدد تخمینی خود را در خود عدد ضرب کنید

به عبارت دیگر ، عدد تقریبی خود را مربع کنید. اگر خوش شانس باشید ، نتیجه عدد موجود در مشکل خواهد بود. در غیر این صورت ، اعداد را بعد از کاما به جمع یا تفریق ادامه دهید تا مربع نزدیک به عدد موجود در مسئله را بیابید.

• 6 ، 4 را در 6 ، 4 ضرب کنید تا 6 ، 4 × 6 ، 4 = بدست آید 40, 96 ، که کمی بالاتر از 40 است.
• از آنجا که آزمایش اولیه اضافی بود ، تقریب خود را با یک رقم اعشار کم کنید ، یعنی 6 ، 3 × 6 ، 3 = 39, 69 به این نتیجه کمی کمتر از عدد موجود در مسئله است. این بدان معنی است که ریشه مربع 40 بین 6 ، 3 و 6 ، 4 است. سپس ، از آنجا که 39.69 به 40 نزدیکتر است ، ریشه مربع 40 نیز به 6 ، 3 نزدیکتر است.

مرحله 4. پیش بینی پیش نیاز در صورت لزوم

اگر فکر می کنید به اندازه کافی دقیق است از پاسخ خود استفاده کنید. اما اگر نه ، فقط الگوی تقریبی بالا را ادامه دهید تا زمانی که پاسخی با سه یا چهار رقم بعد از کاما پیدا کنید - به هر حال ، تا زمانی که به میزان دقت مورد نظر خود برسید.

در مثال مثال ، بیایید سعی کنیم 6 ، 33 را به عنوان دو رقم تقریبی پشت کاما انتخاب کنیم. مربع 6 ، 33 و نتیجه آن 6 ، 33 × 6 ، 33 = 40 ، 0689 است. از آنجا که نتیجه بالاتر از عدد در مسئله است ، سعی می کنیم عدد دوم بعد از کاما را به 6 ، 32. 6 ، 32 reduce کاهش دهیم. 6 ، 32 = 39 ، 9424. این نتیجه کمی کمتر از عدد موجود در مسئله است. بنابراین ، ریشه مربع 40 بین است 6 ، 33 و 6 ، 32 به اگر می خواهید پاسخ دقیق تری داشته باشید ، لطفاً پس از کاما به سه ، چهار یا حتی پنج رقم ادامه دهید.

نکات

برای سریعترین راه حل از ماشین حساب استفاده کنید. ماشین حساب های مدرن اکنون می توانند ریشه مربع را به سرعت پیدا کنند. معمولاً فقط شماره مورد نظر خود را وارد کنید ، سپس دکمه را با نماد رادیکال فشار دهید. به عنوان مثال ، برای یافتن ریشه مربع 841 فقط 8 ، 4 ، 1 ، (√) را فشار دهید و پاسخ ظاهر می شود 39.