نحوه استفاده از قضیه فیثاغورس: 12 مرحله (همراه با تصاویر)

2024 نویسنده: Jason Gerald | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-16 19:24

قضیه فیثاغورس طول اضلاع مثلث قائم الزاویه را به شکلی زیبا و کاربردی توصیف می کند ، بنابراین این قضیه امروزه نیز به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرد. این قضیه بیان می کند که برای هر مثلث قائم ، مجموع مربع اضلاع غیر زاویه ای برابر است با مربع دوپایه ای. به عبارت دیگر ، برای یک مثلث مستطیلی با اضلاع عمود بر a و b و hypotenuse c ، آ² + ب² = ج².

قضیه فیثاغورث یکی از ارکان اساسی هندسه ابتدایی است. کاربردهای بی شماری با استفاده از این قضیه وجود دارد ، برای مثال ، پیدا کردن فاصله بین دو نقطه در صفحه مختصات را آسان می کند.

گام

روش 1 از 2: پیدا کردن اضلاع مثلث قائم الزاویه

مرحله 1. مطمئن شوید که مثلث شما مثلث مستطیلی است

قضیه فیثاغورث فقط در مورد مثلث های مستطیل صدق می کند ، بنابراین ، قبل از ادامه ، بسیار مهم است که مطمئن شوید مثلث های شما با خواص مثلث های قائم مطابقت دارند. خوشبختانه یک عامل وجود دارد که می تواند نشان دهد مثلث شما مثلث قائم الزاویه است. مثلث شما باید دارای یک زاویه 90 درجه باشد.

به عنوان نشانه ، مثلث های مستطیل اغلب با مربع های کوچک برای مشخص کردن زوایای 90 درجه مشخص می شوند ، بدون استفاده از "منحنی" های منحنی. این علامت خاص را در گوشه مثلث خود جستجو کنید

مرحله 2. متغیرهای a ، b و c را برای اضلاع مثلث خود بدهید

در قضیه فیثاغورث ، متغیرهای a و b نشان دهنده اضلاعی هستند که در مثلث راست به هم می رسند ، در حالی که متغیر c نشان دهنده هیپوتنوز است - ضلع طولانی مقابل زاویه راست. بنابراین ، برای شروع ، ضلع های کوتاه مثلث خود را با متغیرهای a و b علامت گذاری کنید (مهم نیست که آنها را جابجا کنید) و hypotenuse را با متغیر c علامت گذاری کنید.

مرحله 3. تصمیم بگیرید که کدام ضلع مثلث را می خواهید حل کنید

قضیه فیثاغورس به ریاضیدانان اجازه می دهد تا طول هر ضلع مثلث قائم را پیدا کنند به شرطی که طول دو ضلع دیگر را بدانند. تعیین کنید که کدام طرف ناشناخته است - a ، b و/یا c. اگر طول یکی از طرفین شما مشخص نیست ، آماده حرکت هستید.

• به عنوان مثال ، ما می دانیم که طول هیپوتنوز یک مثلث 5 و طول یکی از اضلاع دیگر 3 است ، اما از طول ضلع سوم مطمئن نیستیم. در این حالت ، ما می دانیم که ما به دنبال طول ضلع سوم هستیم و از آنجا که طول دو طرف دیگر را می دانیم ، می توانیم آن را حل کنیم! ما با مراحل زیر بر روی این مشکل کار می کنیم.
• اگر طول دو ضلع را نمی دانید ، باید یکی از ضلع ها را بدانید تا بتوانید از قضیه فیثاغورس استفاده کنید. اگر یک طرف مثلثی که کج نیست را بشناسید ، توابع مثلثاتی اساسی می توانند به شما کمک کنند.

مرحله 4. مقادیر دو طرفه ای را که قبلاً می شناسید به معادله وصل کنید

طول اضلاع مثلث خود را به معادله a وصل کنید² + ب² = ج²به به یاد داشته باشید که a و b دو طرف شیب ندارند ، در حالی که c hypotenuse است.

در مثال ما ، طول یکی از اضلاع و هیپوتنوز (3 و 5) را می دانیم ، بنابراین معادله تبدیل می شود 3² + b² = 5²

مرحله 5. مربع

برای حل معادله خود ، از مربع اضلاع شناخته شده شروع کنید. متناوبا ، اگر به نظر می رسید این کار راحت تر است ، می توانید طول ضلع خود را به شکل مربع بگذارید و بعداً آنها را مربع کنید.

• در مثال ما ، مربع 3 و 5 را طوری قرار می دهیم که بدست آوریم

  مرحله 9 دا

  مرحله 25 به می توانیم معادله را 9 + b² = 25 بنویسیم.

مرحله 6. متغیر ناشناخته را به طرف دیگر معادله منتقل کنید

در صورت نیاز ، از عملیات جبری اولیه استفاده کنید تا متغیر ناشناخته به طرف دیگر معادله و مربع دو متغیر دیگر به طرف دیگر حرکت کند. اگر می خواهید طول هیپوتنوز را بیابید ، c در طرف دیگر معادله قرار دارد ، بنابراین برای جابجایی آن نیازی به انجام کاری ندارید.

در مثال ما ، معادله فعلی 9 + b² = 25 است. برای حرکت b² ، هر دو طرف معادله را از 9 کم کنید ، بنابراین نتیجه b² = 16 است

مرحله 7. ریشه مربع دو طرف معادله

اکنون فقط یک متغیر در یک طرف مربع و در طرف دیگر عدد است. ریشه مربع دو طرف برای پیدا کردن طول ضلع ناشناخته.

• در مثال ما ، b² = 16 ، گرفتن ریشه مربع از هر دو طرف b = 4 می دهد. بنابراین ، می توان گفت که طول ضلع ناشناخته مثلث برابر است

  مرحله 4.

مرحله 8. از قضیه فیثاغورث برای پیدا کردن اضلاع مثلث راست استفاده کنید

دلیل اینکه قضیه فیثاغورث امروزه به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرد این است که می تواند در موقعیتهای عملی بی شماری به کار گرفته شود. یاد بگیرید که مثلث های راست را در زندگی واقعی بشناسید - در هر موقعیتی که دو جسم یا خط مستقیم با زاویه ای مطابقت داشته باشند و شی یا خط سوم به طور مورب دو شی یا خط را به هم متصل کند ، سپس می توانید از قضیه فیثاغورس برای پیدا کردن طول ضلع استفاده کنید. طرف دیگر ، اگر طول دو ضلع دیگر مشخص باشد.

• بیایید یک مثال واقعی را امتحان کنیم که کمی سخت تر است. نردبان به ساختمان تکیه می دهد. فاصله از پایین پله ها تا دیوار 5 متر است. ارتفاع پله ها به 20 متر می رسد. طول نردبان چقدر است؟

  • 5 متر از دیوار و 20 متر ارتفاع طول اضلاع مثلث را به ما می گوید. از آنجا که دیوار و زمین (فرض می شود) یک زاویه راست تشکیل می دهند و نردبان به صورت مورب در برابر دیوار قرار گرفته است ، این آرایش را می توان مثلث قائم الزاویه با طول ضلع a = 5 و b = 20. در نظر گرفت که طول نردبان فرض است ، بنابراین مقدار c مشخص نیست. بیایید از قضیه فیثاغورس استفاده کنیم:

    • a² + b² = c²
    • (5) ² + (20) ² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • ریشه (425) = c
    • c = 20.6 طول تقریبی نردبان برابر است 20.6 متر.

روش 2 از 2: محاسبه فاصله بین دو نقطه در X-Y. هواپیما

مرحله 1. دو نقطه را در صفحه X-Y پیدا کنید

از قضیه فیثاغورس می توان به راحتی برای محاسبه فاصله خط مستقیم بین دو نقطه در صفحه X-Y استفاده کرد. تنها چیزی که باید بدانید مختصات x و y دو نقطه است. معمولاً این مختصات با هم به صورت (x ، y) نوشته می شوند.

برای یافتن فاصله بین این دو نقطه ، هر نقطه را به عنوان یکی از زوایای غیر راست مثلث قائم مقام در نظر می گیریم. با این کار یافتن طول اضلاع a و b آسان می شود و سپس hypotenuse c را که فاصله بین دو نقطه است محاسبه می کنیم

مرحله 2. دو نقطه خود را در تصویر ترسیم کنید

در صفحه منظم X-Y ، هر نقطه (x ، y) ، x نشان دهنده مختصات افقی و y نشان دهنده مختصات عمودی است. شما می توانید فاصله بین دو نقطه را بدون رسم آن بیابید ، اما با انجام این کار یک تصویر بصری در اختیار شما قرار می گیرد که می توانید از آن برای درستی پاسخ خود استفاده کنید.

مرحله 3. طول ضلع شیب دار مثلث خود را پیدا کنید

با استفاده از دو نقطه به عنوان زاویه مثلث مجاور هیپوتنوز ، طول اضلاع a و b مثلث را بیابید. می توانید این کار را با استفاده از تصویر یا با استفاده از فرمول | x انجام دهید₁ - ایکس₂| برای طرف افقی و | y₁ - y₂| برای طرف عمودی ، با (x)₁، y₁) به عنوان اولین نقطه و (x)₂، y₂) به عنوان نکته دوم

• اجازه دهید دو نقطه ما (6 ، 1) و (3 ، 5) باشد. طول ضلع افقی مثلث ما این است:

  • | x₁ - ایکس₂|
  • |3 - 6|

  • | -3 | =

    مرحله 3

• طول ضلع عمودی:

  • | y₁ - y₂|
  • |1 - 5|

  • | -4 | =

    مرحله 4

• بنابراین ، در مثلث راست ما ، ضلع a = 3 و ضلع b = 4.

مرحله 4. از قضیه فیثاغورس برای پیدا کردن طول هیپوتنوز استفاده کنید

فاصله بین دو نقطه طول هیپوتینوز مثلثی است که شما دو ضلع آن را تازه پیدا کرده اید. از قضیه فیثاغورس برای یافتن هیپوتنوز استفاده کنید ، جایی که a طول ضلع اول و b طول ضلع دوم است.

• در مثال ما ، از نقاط (3 ، 5) و (6 ، 1) که طول ضلع آنها 3 و 4 است استفاده می کنیم ، بنابراین می توانیم hypotenuse را به صورت زیر بیابیم:

  • (3) ²+(4) ² = c²

    c = ریشه (9+16)

    c = ریشه (25)

    c = 5. فاصله بین (3 ، 5) و (6 ، 1) برابر است

    مرحله 5.

نکات

• hypotenuse همیشه این است:

  • مقابل زاویه راست (بدون لمس زاویه مناسب)
  • طولانی ترین ضلع در مثلث قائم الزاویه
  • در قضیه فیثاغورس c نامیده می شود
• ریشه (x) به معنی ریشه مربع x است.
• به خاطر داشته باشید که همیشه پاسخ های خود را بررسی کنید. اگر پاسخ شما اشتباه به نظر می رسد ، دوباره امتحان کنید و دوباره امتحان کنید.
• اگر مثلث مثلث قائم الزاویه نیست ، به اطلاعات اضافی نیاز دارید ، نه فقط طول دو ضلع دیگر.
• روش دیگر بررسی - طولانی ترین ضلع مقابل بزرگترین زاویه و کوتاهترین ضلع مقابل کوچکترین زاویه قرار دارد.
• شکل ها کلید نوشتن مقادیر صحیح برای a ، b و c هستند. اگر روی مشکل داستان کار می کنید ، حتماً ابتدا مشکل را به شکل تصویر بنویسید.
• اگر فقط طول یک طرف را بدانید ، قضیه فیثاغورس کار نمی کند. سعی کنید از مثلثات (sin، cos، tan) یا نسبت 30-60-90 / 45-45-90 استفاده کنید.