5 راه برای ایجاد تعادل بین فراکسیون ها

2024 نویسنده: Jason Gerald | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-15 08:13

اگر دو کسر دارای مقدار یکسان باشند معادل هستند. دانستن نحوه تبدیل کسرها به اشکال معادل آنها یک مهارت ریاضی بسیار مهم است که برای همه اشکال ریاضیات از جبر پایه تا محاسبات پیشرفته لازم است. این مقاله چندین روش برای محاسبه کسرهای معادل از ضرب و تقسیم پایه تا روشهای پیچیده تر حل معادلات کسری معادل ارائه می دهد.

گام

روش 1 از 5: ترتیب کسرهای معادل

مرحله 1: متر و مخرج را در یک عدد ضرب کنید

دو کسر متفاوت اما معادل ، بنا به تعریف ، دارای یک عدد و مخرج هستند که مضرب یکدیگرند. به عبارت دیگر ، ضرب شمارنده و مخرج کسری در همان تعداد کسری معادل تولید می کند. اگرچه اعداد در کسر جدید متفاوت خواهند بود ، اما کسرها ارزش یکسانی خواهند داشت.

به عنوان مثال ، اگر کسر 4/8 را گرفته و عدد و مخرج را در 2 ضرب کنیم ، (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16 بدست می آوریم. این دو کسر معادل هستند.
(4 × 2)/(8 × 2) در واقع همان 4/8 × 2/2 است. به یاد داشته باشید که در هنگام ضرب دو کسر ، ما در حال ضرب مستقیم هستیم ، به این معنی که عدد بر عدد و مخرج بر مخرج است.
توجه داشته باشید که اگر تقسیم را انجام دهید 2/2 برابر 1 است. بنابراین ، درک اینکه چرا 4/8 و 8/16 معادل هستند آسان تر است زیرا ضرب 4/8 × (2/2) = 4/8 باقی می ماند. به همین ترتیب ، این همان چیزی است که می گویند 4/8 = 8/16.
هر کسر داده شده دارای بی نهایت کسر معادل است. برای به دست آوردن کسری معادل ، می توانید هر دو عدد شمارنده و مخرج را در هر عدد صحیح ، بدون در نظر گرفتن اندازه یا کوچک ضرب کنید.

مرحله 2: عدد حساب و مخرج را بر همان عدد تقسیم کنید

مانند ضرب ، از تقسیم نیز می توان برای یافتن کسری جدید که معادل کسر اصلی شما است استفاده کرد. فقط کافی است که عدد و مخرج کسری را بر همان عدد تقسیم کنید تا کسری معادل بدست آید. این فرایند یک اشکال دارد - کسر نهایی باید صحیح در مخرج و مخرج باشد تا درست باشد.

به عنوان مثال ، بیایید به 4/8 نگاه کنیم. اگر به جای ضرب ، هر دو عدد شمارنده و مخرج را بر 2 تقسیم کنیم ، بدست می آوریم (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 و 4 عدد صحیح هستند ، بنابراین این کسرهای معادل درست هستند

روش 2 از 5: استفاده از ضرب اساسی برای تعیین برابری

مرحله 1. عددی را که باید در مخرج کوچکتر ضرب شود پیدا کنید تا مخرج بزرگتر بدست آید

بسیاری از مشکلات مربوط به کسرها شامل تعیین معادل بودن دو کسر است. با محاسبه این عدد ، می توانید عبارات کسری را برای تعیین برابری برابر کنید.

برای مثال ، از کسرهای 4/8 و 16/8 دوباره استفاده کنید. مخرج کوچکتر 8 است و باید عدد را در 2 ضرب کنیم تا مخرج بزرگتر یعنی 16 بدست آید ، بنابراین عدد در این مورد 2 است.
برای اعداد دشوارتر ، می توانید مخرج بزرگتر را بر مخرج کوچکتر تقسیم کنید. در این حالت ، 16 بر 8 تقسیم می شود ، که هنوز 2 را به دست می آورد.
عدد همیشه یک عدد صحیح نیست. به عنوان مثال ، اگر مخرج 2 و 7 باشند ، عدد 3 ، 5 است.

مرحله 2: عدد و مخرج کسری را که دارای عبارت کوچکتر است در عدد مرحله اول ضرب کنید

دو کسر متفاوت اما معادل ، طبق تعریف ، شمارنده و مخرج که مضرب یکدیگرند به به عبارت دیگر ، ضرب شمارنده و مخرج کسر در یک عدد ، کسری معادل تولید می کند. اگرچه اعداد در این کسر جدید متفاوت خواهند بود ، اما این کسرها ارزش یکسانی خواهند داشت.

به عنوان مثال ، اگر از کسر 4/8 از مرحله یک استفاده کنیم و عدد و مخرج را در عددی که قبلاً تعریف کرده بودیم ، ضرب کنیم ، 2 است (2 4 4)/(2 8 8) = 8/16 به این نتیجه ثابت می کند که این دو کسر معادل هستند.

روش 3 از 5: استفاده از تقسیم اولیه برای تعیین برابری

مرحله 1. هر کسر را به عنوان یک عدد اعشاری حساب کنید

برای کسرهای ساده بدون متغیر ، می توانید هر کسر را به صورت عدد اعشاری برای تعیین برابری نشان دهید. از آنجا که هر کس در واقع یک مسئله تقسیم است ، این ساده ترین راه برای تعیین برابری است.

به عنوان مثال ، از کسری که قبلاً استفاده کردیم ، 4/8 استفاده کنید. کسر 4/8 معادل گفتن 4 تقسیم بر 8 است که 4/8 = 0.5 است. همچنین می توانید مثال دیگر را که 8/16 = 0.5 است حل کنید. صرف نظر از شرایط موجود در کسر ، کسر معادل است اگر هر دو عدد یکسان باشند وقتی به صورت اعشاری نمایش داده شوند.
به خاطر داشته باشید که عبارات اعشاری قبل از آشکار شدن برابری می توانند چندین رقم داشته باشند. به عنوان مثال اساسی ، 1/3 = 0.333 تکرار می شود در حالی که 3/10 = 0.3. با استفاده از بیش از یک رقم ، می بینیم که این دو کسر معادل نیستند.

مرحله 2: برای به دست آوردن کسری معادل ، کسر و مخرج کسری را بر همان عدد تقسیم کنید

برای کسرهای پیچیده تر ، روش تقسیم به مراحل بیشتری نیاز دارد. در حالی که با ضرب ، می توانید عدد و مخرج کسر را بر همان عدد تقسیم کنید تا کسری معادل بدست آورید. این فرایند یک اشکال دارد. کسر نهایی باید صحیح در مخرج و مخرج باشد تا درست باشد.

به عنوان مثال ، بیایید به 4/8 نگاه کنیم. اگر به جای ضرب ، عدد و مخرج را بر 2 تقسیم کنیم ، بدست می آوریم (4 2)/(8 2) = 2/4 به 2 و 4 عدد صحیح هستند ، بنابراین این کسرهای معادل درست هستند.

مرحله 3. کسرها را به ساده ترین اصطلاحات ساده کنید

اکثر کسرها معمولاً به ساده ترین عبارت نوشته می شوند و شما می توانید کسرها را با تقسیم بر بزرگترین عامل مشترک (GCF) به ساده ترین شکل خود تبدیل کنید. این مرحله با نوشتن کسرهای معادل و تبدیل آنها به مخرج یکسان با منطق یکسان انجام می شود ، اما این روش تلاش می کند تا هر کسر را به کوچکترین شرایط ممکن ساده کند.

وقتی کسری در ساده ترین شکل خود باشد ، عدد و مخرج کوچکترین مقادیر ممکن را دارند. برای بدست آوردن مقدار کوچکتر ، هر دو را نمی توان با عدد صحیح تقسیم کرد. برای تبدیل کسری که در ساده ترین شکل خود نیست به ساده ترین شکل معادل آن ، عدد و مخرج را بر بزرگترین عامل مشترک آنها تقسیم می کنیم.
بزرگترین عامل مشترک (GCF) شمارنده و مخرج ، بزرگترین عددی است که آنها را تقسیم می کند و نتیجه صحیح می دهد. بنابراین ، در مثال 4/8 ما ، زیرا

مرحله 4 بزرگترین عددی است که بر 4 و 8 بخش پذیر است ، ما عدد و مخرج کسر خود را بر 4 تقسیم می کنیم تا ساده ترین شرایط را بدست آوریم. (4 4)/(8 4) = 1/2 به برای مثال دیگر ما ، 8/16 ، GCF 8 است که مقدار 1/2 را نیز به عنوان ساده ترین بیان کسر برمی گرداند.

روش 4 از 5: استفاده از محصولات متقاطع برای یافتن متغیرها

مرحله 1. دو کسر را طوری بچینید که مساوی یکدیگر باشند

ما از ضربدر متقاطع برای مسائل ریاضی استفاده می کنیم که می دانیم کسرها معادل هستند ، اما یکی از اعداد با متغیری (معمولاً x) جایگزین شده است که باید حل کنیم. در مواردی مانند این ، ما می دانیم که این کسرها معادل هستند زیرا تنها اصطلاحات در طرف دیگر علامت برابر هستند ، اما اغلب راه یافتن متغیر مشخص نیست. خوشبختانه با ضرب متقاطع ، حل این نوع مشکلات آسان است.

مرحله 2. دو کسر معادل را بردارید و آنها را در شکل "X" ضرب کنید

به عبارت دیگر ، شمارش یک کسر را در مخرج کسر دیگر ضرب می کنید و برعکس ، سپس دو پاسخ را مطابق با یکدیگر و حل می کنید.

دو مثال ما را در نظر بگیرید ، 4/8 و 8/16. هیچ کدام متغیری ندارند ، اما می توانیم مفهوم را اثبات کنیم زیرا قبلاً می دانیم که آنها معادل هستند. با ضربدر متقاطع ، 4/16 = 8 8 8 ، یا 64 = 64 بدست می آوریم که درست است. اگر این دو عدد برابر نباشند ، کسرها معادل نیستند

مرحله 3. متغیرها را اضافه کنید

از آنجایی که ضرب متقاطع ساده ترین راه برای تعیین کسرهای معادل در هنگام پیدا کردن متغیرها است ، اجازه دهید متغیرها را اضافه کنیم.

به عنوان مثال ، از معادله 2/x = 10/13 استفاده کنیم. برای ضربدر ضرب ، 2 را در 13 و 10 را در x ضرب می کنیم ، سپس پاسخ های خود را برابر یکدیگر قرار می دهیم:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. از اینجا ، یافتن پاسخ متغیر ما یک مشکل جبری ساده است. x = 26/10 = 2, 6 ، کسر معادل اولیه 2/2 ، 6 = 10/13.

مرحله 4. از ضرب متقاطع برای کسرهای چند متغیر یا عبارات متغیر استفاده کنید

یکی از بهترین چیزها در مورد ضرب متقاطع این است که در واقع یکسان عمل می کند ، چه با دو کسر ساده (مانند بالا) و چه کسرهای پیچیده تر کار کنید. به عنوان مثال ، اگر هر دو کسر متغیر داشته باشند ، فقط باید این متغیرها را در فرآیند حل حذف کنید. به طور مشابه ، اگر عدد کسر یا مخرج شما دارای یک عبارت متغیر باشد (مانند x + 1) ، کافی است آن را با استفاده از ویژگی توزیعی "ضرب" کرده و طبق معمول حل کنید.

برای مثال ، از معادله ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4) استفاده کنیم. در این مورد ، مانند بالا ، ما آن را با محصول متقاطع حل می کنیم:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12 ، سپس می توان کسر را با تفریق 2x از هر دو طرف ساده کرد
- 2 = 2x + 12 ، سپس با کم کردن 12 از هر دو طرف ، متغیر را جدا می کنیم
- -10 = 2x ، و بر 2 تقسیم کنید تا x را پیدا کنید
- - 5 = x

روش 5 از 5: استفاده از فرمول های درجه دوم برای یافتن متغیرها

مرحله 1. دو کسر را رد کنید

برای مشکلات برابری که نیاز به فرمول درجه دوم دارد ، ما هنوز با استفاده از محصول متقاطع شروع می کنیم. با این حال ، هر محصول متقابل که شامل ضرب شرایط یک متغیر در شرایط متغیر دیگر باشد ، احتمالاً منجر به عبارتی می شود که نمی توان به راحتی با استفاده از جبر آن را حل کرد. در مواردی مانند این ، ممکن است لازم باشد از تکنیک هایی مانند فاکتورگیری و/یا فرمول های درجه دوم استفاده کنید.

به عنوان مثال ، بیایید به معادله ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)) نگاه کنیم. ابتدا بیایید ضربدر ضربدری قرار دهیم:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x² + 2x -2x - 2 = 2x² - 2
- 4 × 3 = 12
- 2 برابر² - 2 = 12.

مرحله 2. معادله را به صورت یک معادله درجه دوم بنویسید

در این بخش ، ما می خواهیم این معادله را به صورت درجه دوم (ax² + bx + c = 0) ، که با تنظیم معادله برابر صفر انجام می دهیم. در این حالت ، 12 را از هر دو طرف کم می کنیم تا 2 برابر شود² - 14 = 0.

برخی از مقادیر ممکن است برابر 0 باشند هر چند 2x² - 14 = 0 ساده ترین شکل معادله ما است ، معادله درجه دوم 2 برابر است² + 0x + (-14) = 0. ممکن است در ابتدا نوشتن فرم معادله درجه دوم حتی اگر مقادیری برابر 0 باشد ، مفید باشد.

مرحله 3. با اتصال اعداد از معادله درجه دوم خود به فرمول درجه دوم حل کنید

فرمول درجه دوم (x = (-b +/- (b² - 4ac))/2a) به ما کمک می کند تا مقدار x خود را در این بخش پیدا کنیم. از طول فرمول نترسید. شما فقط مقادیر را از معادله درجه دوم خود در مرحله دو گرفته و قبل از حل آنها را در مکان های مناسب قرار دهید.

x = (-b +/- (b² - 4ac))/2a. در معادله ما ، 2x² - 14 = 0 ، a = 2 ، b = 0 و c = -14.
x = (-0 +/- (0² - 4(2)(-14)))/2(2)
x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
x = (+/- (112))/2 (2)
x = (+/- 10.58/4)
x = +/- 2, 64

مرحله 4. با وارد کردن مجدد مقدار x در معادله درجه دوم ، پاسخ خود را بررسی کنید

با افزودن مقدار x محاسبه شده به معادله درجه دوم مرحله دوم ، می توانید به راحتی تعیین کنید که آیا پاسخ را درست دریافت کرده اید یا خیر. در این مثال ، 2 ، 64 و -2 ، 64 را به معادله درجه دوم وصل می کنید.

نکات

تبدیل کسر به معادل آن در واقع شکلی از کسر در 1 است. در تبدیل 1/2 به 2/4 ، ضرب عدد و مخرج در 2 برابر ضرب 1/2 در 2/2 است که برابر 1 است. به
در صورت تمایل ، عدد مختلط را به کسر مشترک تبدیل کنید تا تبدیل آسان تر شود. البته ، همه کسری که با آن روبرو می شوید به آسانی تبدیل مثال 4/8 ما در بالا نخواهد بود. به عنوان مثال ، اعداد مختلط (مانند 1 3/4 ، 2 5/8 ، 5 2/3 و غیره) می توانند فرایند تبدیل را کمی پیچیده تر کنند. اگر مجبورید یک عدد مختلط را به کسر مشترک تبدیل کنید ، می توانید این کار را به دو صورت انجام دهید: با تبدیل عدد مختلط به کسر مشترک و سپس تبدیل آن به طور معمول ، یا با حفظ شکل اعداد مختلط و دریافت پاسخ در قالب اعداد مختلط.
- برای تبدیل به کسر مشترک ، جزء صحیح عدد مخلوط را در مخرج جزء کسری ضرب کرده و سپس به شمارنده اضافه کنید. به عنوان مثال ، 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. سپس ، در صورت تمایل ، می توانید آن را در صورت نیاز تغییر دهید. به عنوان مثال ، 5/3 × 2/2 = 10/6 ، که برابر 1 2/3 باقی می ماند.
- با این حال ، مجبور نیستیم آن را به کسری معمولی مانند بالا تبدیل کنیم. در غیر این صورت ، ما جزء صحیح را تنها می گذاریم ، فقط جزء کسری را تغییر می دهیم و جزء صحیح را بدون تغییر اضافه می کنیم. به عنوان مثال ، برای 3 4/16 ، ما فقط 16/4 را می بینیم. 4/16 4/4 = 1/4. بنابراین ، با اضافه کردن اجزای صحیح خود ، یک عدد مخلوط جدید بدست می آوریم ، 3 1/4.

هشدار

از ضرب و تقسیم می توان برای بدست آوردن کسرهای معادل استفاده کرد زیرا ضرب و تقسیم با شکل کسری عدد 1 (2/2 ، 3/3 و غیره) با تعریف معادل کسر اصلی است. از جمع و تفریق نمی توان استفاده کرد.
حتی اگر هنگام ضرب کسرها ، اعداد و مخرج ها را ضرب می کنید ، وقتی کسرها را جمع یا تفریق می کنید ، مخرج ها را اضافه یا کم نمی کنید.

به عنوان مثال ، در بالا ، ما می دانیم که 4/8 4/4 = 1/2. اگر 4/4 را جمع کنیم ، پاسخ کاملاً متفاوتی دریافت می کنیم. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 یا 3/2 ، آنها برابر 4/8 نیستند.