3 راه حل معادلات مکعبی

2024 نویسنده: Jason Gerald | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-16 19:24

هنگامی که برای اولین بار معادله مکعب را پیدا می کنید (که از فرم ax است ³ + bx ² + cx + d = 0) ، شاید فکر می کنید که حل مشکل مشکل خواهد بود. اما بدانید که حل معادلات مکعبی در واقع قرن ها است که وجود دارد! این محلول ، توسط ریاضیدانان ایتالیایی Niccolò Tartaglia و Gerolamo Cardano در دهه 1500 کشف شد ، یکی از اولین فرمولهایی است که در یونان و روم باستان شناخته شده است. حل معادلات مکعبی ممکن است کمی مشکل باشد ، اما با رویکرد مناسب (و دانش کافی) ، حتی سخت ترین معادلات مکعبی نیز قابل حل است.

گام

روش 1 از 3: حل با استفاده از معادلات درجه دوم

مرحله 1. بررسی کنید که آیا معادله مکعبی شما دارای یک ثابت است یا خیر

همانطور که در بالا گفته شد ، معادله مکعبی ax است ³ + bx ² + cx + d = 0. b ، c ، و مقدار d می تواند 0 باشد بدون این که بر شکل این معادله مکعبی تأثیر بگذارد. این اساساً به این معنی است که معادله مکعب همیشه نباید مقدار bx را شامل شود ²، cx یا d معادله مکعبی باشد. برای شروع استفاده از این روش نسبتاً آسان برای حل معادلات مکعب ، بررسی کنید که آیا معادله مکعب شما دارای ثابت (یا مقدار d) است. اگر معادله شما ثابت یا مقدار d ندارد ، می توانید از معادله درجه دوم برای یافتن پاسخ معادله مکعب پس از چند مرحله استفاده کنید.

از طرف دیگر ، اگر معادله شما دارای مقدار ثابتی باشد ، به راه حل دیگری نیاز خواهید داشت. برای رویکردهای دیگر مراحل زیر را مشاهده کنید

مرحله 2. مقدار x را از معادله مکعب محاسبه کنید

از آنجا که معادله شما ارزش ثابتی ندارد ، تمام اجزای موجود در آن دارای متغیر x هستند. این بدان معناست که می توان این مقدار x را از معادله خارج کرد تا آن را ساده کند. این مرحله را انجام دهید و معادله مکعبی خود را به شکل x (ax بازنویسی کنید ² + bx + c).

به عنوان مثال ، فرض کنید معادله مکعبی اصلی در اینجا 3 برابر است ³ + -2 x ² + 14 x = 0. با در نظر گرفتن یک متغیر x از این معادله ، معادله را بدست می آوریم x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

مرحله 3. برای حل معادلات داخل پرانتز از معادلات درجه دوم استفاده کنید

ممکن است توجه داشته باشید که برخی از معادلات جدید شما که داخل پرانتز قرار گرفته اند ، به صورت یک معادله درجه دوم (ax ² + bx + c). این بدان معناست که با وارد کردن a ، b و c در فرمول معادله درجه دو ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). این محاسبات را انجام دهید تا دو جواب معادله مکعبی خود را بیابید.

• در مثال ما ، مقادیر a ، b و c (به ترتیب 3 ، -2 و 14) را به معادله درجه دوم به شرح زیر وصل کنید:

  {- b +/- √ (ب ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• پاسخ 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 i}/6

• پاسخ 2:

  {2 - 12.8 i}/6

مرحله 4. از صفر و پاسخ خود به معادله درجه دوم خود به عنوان پاسخ به معادله مکعبی خود استفاده کنید

معادلات درجه دو دارای دو پاسخ ، در حالی که معادلات مکعبی دارای سه پاسخ است. شما در حال حاضر دو پاسخ از سه پاسخ را می دانید. که از قسمت "مربع" معادله در براکت دریافت می کنید. اگر معادله مکعب شما را می توان با "فاکتورگیری" اینگونه حل کرد ، سومین پاسخ شما تقریباً همیشه است 0 به بی خطر! شما به تازگی یک معادله مکعبی را حل کرده اید.

دلیلی که باعث می شود این روش کار کند این واقعیت اساسی است که "هر عددی ضرب در صفر مساوی صفر است". وقتی معادله خود را به صورت x (ax در می آورید ² + bx + c) = 0 ، شما اساساً آن را به دو "قسمت" تقسیم می کنید. یک قسمت متغیر x در سمت چپ و قسمت دیگر معادله درجه دو در داخل پرانتز است. اگر یکی از این دو قسمت صفر باشد ، کل معادله نیز صفر خواهد بود. بنابراین ، دو پاسخ به معادله درجه دو در پرانتز ، که آن را صفر می کند ، پاسخ معادله مکعب و همچنین 0 خود است - که قسمت سمت چپ را نیز صفر می کند.

روش 2 از 3: یافتن پاسخ های صحیح با استفاده از فهرست عوامل

مرحله 1. مطمئن شوید که معادله مکعبی شما دارای مقدار ثابتی است

در حالی که روشهای توصیف شده در بالا نسبتاً آسان هستند زیرا برای استفاده از آنها نیازی به یادگیری یک روش محاسبه جدید ندارید ، آنها همیشه به شما در حل معادلات مکعبی کمک نمی کنند. اگر معادله مکعبی شما از نوع ax است ³ + bx ² + cx + d = 0 ، جایی که مقدار d برابر صفر نیست ، روش "فاکتورسازی" بالا کار نمی کند ، بنابراین برای حل این مشکل باید از یکی از روش های این بخش استفاده کنید.

به عنوان مثال ، فرض کنیم معادله 2 x داریم ³ + 9 برابر ² + 13 x = -6 در این حالت ، برای به دست آوردن صفر در سمت راست معادله ، باید 6 را به هر دو طرف اضافه کنیم. پس از آن ، یک معادله جدید 2x دریافت می کنیم ³ + 9 برابر ² + 13 x + 6 = 0 ، با مقدار d = 6 ، بنابراین ما نمی توانیم از روش "فاکتورسازی" مانند روش قبلی استفاده کنیم.

مرحله 2. عوامل a و d را بیابید

برای حل معادله مکعبی خود ، با یافتن ضریب a (ضریب x) شروع کنید ³) و d (مقدار ثابت در انتهای معادله). به یاد داشته باشید ، عوامل اعدادی هستند که می توانند در یکدیگر ضرب شوند و عدد معینی را تولید کنند. به عنوان مثال ، از آنجا که می توانید 6 را با ضرب 6 × 1 و 2 × 3 بدست آورید ، 1 ، 2 ، 3 و 6 عوامل 6 هستند.

• در مسئله مثال مورد استفاده ما ، a = 2 و d = 6. ضریب 2 است 1 و 2 به در حالی که ضریب 6 است 1 ، 2 ، 3 و 6

  

  مرحله 3. عامل a را بر ضریب d تقسیم کنید

  در مرحله بعد ، مقادیری را که با تقسیم هر عامل a بر هر عامل d دریافت می کنید ، لیست کنید. این محاسبه معمولاً منجر به بسیاری از مقادیر کسری و چندین عدد صحیح می شود. عدد صحیح برای حل معادله مکعبی شما یکی از اعداد صحیح بدست آمده از محاسبه است.

  در معادله ما ، مقدار عامل a (1 ، 2) را بر ضریب d (1 ، 2 ، 3 ، 6) تقسیم کنید و نتایج زیر را بدست آورید: 1 ، 1/2 ، 1/3 ، 1/6 ، 2 ، و 2/3 بعد ، مقادیر منفی را به لیست اضافه کنید و بدست می آوریم: 1 ، -1 ، 1/2 ، -1/2 ، 1/3 ، -1/3 ، 1/6 ، -1/6 ، 2 ، -2 ، 2/3 و -2/3 به پاسخ معادله مکعب - که یک عدد صحیح است ، در لیست موجود است.

  

  مرحله 4. برای بررسی دستی پاسخ های خود از تقسیم مصنوعی استفاده کنید

  هنگامی که لیستی از مقادیر مانند بالا را در اختیار دارید ، می توانید با وارد کردن دستی هر عدد صحیح ، مقادیر صحیح را که پاسخ معادله مکعب شما هستند ، جستجو کنید و دریابید که کدام مقدار صفر را برمی گرداند. با این حال ، اگر نمی خواهید وقت خود را صرف این کار کنید ، راهی برای انجام سریعتر آن وجود دارد ، یعنی با محاسبه ای به نام تقسیم مصنوعی. اساساً ، شما باید عدد صحیح خود را بر ضرایب اصلی a ، b ، c و d در معادله مکعب خود تقسیم کنید. اگر مابقی صفر است ، آن مقدار یکی از پاسخهای معادله مکعبی شما است.

  • تقسیم مصنوعی یک موضوع پیچیده است - برای اطلاعات بیشتر به پیوند زیر مراجعه کنید. در اینجا مثالی از نحوه یافتن یکی از پاسخهای معادله مکعبی خود با تقسیم مصنوعی آورده شده است:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    از آنجا که نتیجه نهایی را برابر 0 می گیریم ، می دانیم که یکی از پاسخ های صحیح معادله مکعبی ما این است - 1.

  روش 3 از 3: استفاده از روش تبعیض آمیز

  

  مرحله 1. معادلات a ، b ، c و d را بنویسید

  برای یافتن پاسخ معادله مکعبی از این طریق ، محاسبات زیادی را با ضرایب معادله خود انجام می دهیم. به همین دلیل ، بهتر است قبل از فراموش کردن هر یک از مقادیر ، مقادیر a ، b ، c و d را یادداشت کنید.

  به عنوان مثال ، برای معادله x ³ - 3 برابر ² + 3 x -1 ، آن را به صورت a = 1 ، b = -3 ، c = 3 و d = -1 بنویسید. فراموش نکنید که وقتی متغیر x ضریب ندارد ، مقدار آن 1 است.

  

  مرحله 2. 0 = b را محاسبه کنید ² - 3 دستگاه تهویه مطبوع

  رویکرد متمایز برای یافتن پاسخ معادلات مکعبی نیاز به محاسبات پیچیده ای دارد ، اما اگر مراحل را با دقت دنبال کنید ، می تواند برای حل معادلات مکعبی که حل آنها از جهات دیگر مشکل است ، بسیار مفید باشد. برای شروع ، مقدار 0 را پیدا کنید ، که اولین مقدار قابل توجه از چندین مورد مورد نیاز ماست ، مقدار مناسب را به فرمول b وصل کنید ² - 3 دستگاه تهویه مطبوع

  • در مثال مورد استفاده ما ، آن را به صورت زیر حل می کنیم:

    ب ² - 3 جریانی

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  مرحله 3. محاسبه 1 = 2 ب ³ - 9 abc + 27 a ² د

  مقدار قابل توجه بعدی که ما به آن نیاز داریم ، 1 ، محاسبه طولانی تری نیاز دارد ، اما می توان آن را همانند 0 یافت. مقدار مناسب را به فرمول 2 ب وصل کنید ³ - 9 abc + 27 a ² d برای بدست آوردن مقدار 1.

  • در این مثال ، آن را به صورت زیر حل می کنیم:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  مرحله 4. محاسبه = 1² - 4Δ0³) -27 الف ².

  در مرحله بعد ، مقدار "متمایز" مقادیر 0 و 1 را محاسبه می کنیم. ممیز عددی است که اطلاعاتی در مورد ریشه چند جمله ای به شما می دهد (ممکن است ناخودآگاه فرمول تشخیصی درجه دو را حفظ کرده باشید: b ² - 4 دستگاه تهویه مطبوع). در مورد معادله مکعب ، اگر مقدار ممیز مثبت باشد ، معادله دارای سه پاسخ عدد واقعی است. اگر مقدار ممیز برابر با صفر باشد ، معادله دارای یک یا دو پاسخ عددی واقعی است و برخی از پاسخها دارای ارزش یکسانی هستند. اگر مقدار منفی باشد ، معادله فقط یک پاسخ عددی واقعی دارد ، زیرا نمودار معادله همیشه حداقل یکبار محور x را قطع می کند.)

  • در این مثال ، از آنجا که هم 0 و هم 1 = 0 ، پیدا کردن مقدار بسیار آسان است. ما فقط باید آن را به روش زیر محاسبه کنیم:

    1² - 4Δ0³) -27 الف ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 = ، بنابراین معادله ما 1 یا 2 پاسخ دارد.

  

  مرحله 5. C = را محاسبه کنید ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  آخرین مقداری که برای ما مهم است ، مقدار C است. این مقدار به ما اجازه می دهد تا هر سه ریشه معادله مکعبی خود را بدست آوریم. طبق معمول حل کنید ، مقادیر 1 و 0 را به فرمول وصل کنید.

  • در این مثال ، مقدار C را بدست می آوریم:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = ج

  

  مرحله 6. سه ریشه معادله را با متغیر خود محاسبه کنید

  ریشه (پاسخ) معادله مکعبی شما با فرمول تعیین می شود (b + u C + (Δ0/u ج)) / 3 الف ، جایی که u = (-1 + (-3))/2 و n برابر 1 ، 2 ، یا 3 است. مقادیر خود را برای حل آنها به فرمول وصل کنید-ممکن است محاسبات زیادی انجام دهید ، اما شما باید هر سه پاسخ معادله مکعبی خود را دریافت کنید!

  • در این مثال ، ممکن است با بررسی پاسخ ها در زمانی که n برابر 1 ، 2 و 3 باشد ، آن را حل کنیم. پاسخی که از این محاسبه می گیریم ، پاسخ احتمالی معادله مکعب ما است - هر مقداری که به معادله مکعب وصل کنیم و این با 0 ، پاسخ صحیح است. به عنوان مثال ، اگر در یکی از آزمایشات محاسبه خود پاسخی برابر 1 دریافت کنیم ، مقدار 1 را به معادله x وصل می کنیم ³ - 3 برابر ² + 3 x - 1 نتیجه نهایی را برابر با 0 نشان می دهد. بنابراین

    مرحله 1 یکی از پاسخهای معادله مکعبی ما است.