4 راه برای استخراج در حساب

2024 نویسنده: Jason Gerald | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-19 22:12

از مشتقات می توان برای استخراج ویژگی های مفید از نمودار ، مانند مقادیر حداکثر ، حداقل ، اوج ، از طریق و شیب استفاده کرد. حتی می توانید از آن برای نمودار معادلات پیچیده بدون ماشین حساب نمودار استفاده کنید! متأسفانه ، کار روی مشتقات اغلب خسته کننده است ، اما این مقاله با نکات و ترفندهایی به شما کمک می کند.

گام

مرحله 1. درک علامت مشتق شده

دو علامت زیر بیشترین استفاده را دارند ، اگرچه بسیاری دیگر را می توانید در ویکی پدیا پیدا کنید.

• علامت لایب نیتز این علامت هنگامی که معادله شامل y و x می شود ، رایج ترین علامت است. dy/dx در لغت به معنای مشتق y نسبت به x است. ممکن است مفید باشد که آن را y/Δx برای مقادیر بسیار متفاوت x و y در نظر بگیریم. این توضیح منجر به تعریف حد مشتق می شود: lim_{h-> 0} (f (x+h) -f (x))/ساعت هنگام استفاده از این علامت برای مشتق دوم ، باید بنویسید: d²y/dx².
• نماد لاگرانژ مشتق تابع f نیز به صورت f '(x) نوشته می شود. این علامت f با لهجه x را می خواند. این نماد کوتاهتر از علامت لایبنیتس است و هنگام مشاهده مشتقات به عنوان توابع مفید است. برای تشکیل درجه بیشتر مشتق ، فقط 'را به f اضافه کنید ، بنابراین مشتق دوم f' '(x) خواهد بود.

مرحله 2. معنی مشتق و دلایل نزول را درک کنید

ابتدا ، برای یافتن شیب یک نمودار خطی ، دو نقطه روی خط گرفته شده و مختصات آنها در معادله وارد می شود (y₂ - y₁)/(ایکس₂ - ایکس₁) با این حال ، فقط می تواند برای نمودارهای خطی استفاده شود. برای معادلات درجه دوم و بالاتر ، خط منحنی خواهد بود ، بنابراین یافتن تفاوت بین دو نقطه چندان دقیق نیست. برای یافتن شیب مماس در نمودار منحنی ، دو نقطه گرفته شده و در معادله کلی قرار داده می شود تا شیب نمودار منحنی را بیابید: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx دلتا x را نشان می دهد ، که تفاوت بین دو مختصات x در دو نقطه از نمودار است. توجه داشته باشید که این معادله با (y₂ - y₁)/(ایکس₂ - ایکس₁) ، فقط به شکل متفاوت. از آنجا که مشخص بود که نتایج دقیق نیستند ، یک رویکرد غیرمستقیم اعمال شد. برای یافتن شیب مماس بر (x ، f (x)) ، dx باید نزدیک 0 باشد ، به طوری که دو نقطه کشیده شده در یک نقطه ادغام شوند. با این حال ، شما نمی توانید 0 را تقسیم کنید ، بنابراین هنگامی که مقادیر دو نقطه ای را وارد کردید ، باید از factoring و روشهای دیگر برای حذف dx از پایین معادله استفاده کنید. پس از انجام این کار ، dx 0 را بسازید و کار شما تمام شد. این شیب مماس بر (x ، f (x)) است. مشتق یک معادله معادله کلی برای یافتن شیب هر مماس بر روی نمودار است. این ممکن است بسیار پیچیده به نظر برسد ، اما چند مثال در زیر وجود دارد که به توضیح نحوه بدست آوردن مشتق کمک می کند.

روش 1 از 4: مشتقات صریح

مرحله 1. اگر معادله شما قبلاً y را در یک طرف دارد ، از یک مشتق صریح استفاده کنید

مرحله 2. معادله را به معادله [f (x + dx) - f (x)]/dx وصل کنید

به عنوان مثال ، اگر معادله y = x باشد²، مشتق خواهد بود [(x + dx)² - ایکس²]/dx

مرحله 3. dx را گسترش داده و بردارید تا معادله [dx (2x + dx)]/dx تشکیل شود

اکنون می توانید دو dx را در بالا و پایین ارسال کنید. نتیجه 2x + dx است و با نزدیک شدن dx به صفر ، مشتق 2x می شود. این بدان معناست که شیب هر مماس نمودار y = x است² 2 برابر است فقط مقدار x را برای نقطه ای که می خواهید شیب آن را پیدا کنید وارد کنید.

مرحله 4. الگوهای استخراج معادلات مشابه را بیاموزید

در اینجا چند نمونه آورده شده است.

• هر نمایی توان برابر مقدار است که به توان کمتر از 1 افزایش می یابد. به عنوان مثال ، مشتق x⁵ 5 برابر است⁴، و مشتق x^{3, 5} iis3 ، 5x^{2, 5}به اگر در مقابل x عددی وجود دارد ، کافی است آن را در توان ضرب کنید. به عنوان مثال مشتق 3x⁴ 12 برابر است³.
• مشتق هر ثابت صفر است. بنابراین ، مشتق 8 0 است.
• مشتق مجموع مجموع مشتقات مربوطه است. به عنوان مثال ، مشتق x³ + 3x² 3x است² + 6 برابر
• مشتق محصول ، عامل اول بر مشتق عامل دوم به علاوه عامل دوم برابر مشتق عامل اول است. به عنوان مثال ، مشتق x³(2x + 1) x است³(2) + (2x + 1) 3x²، که برابر با 8 برابر است³ + 3x².
• مشتق ضریب (مثلاً f/g) [g (مشتق f) - f (مشتق g)]/g است²به به عنوان مثال ، مشتق (x² + 2x - 21)/(x - 3) است (x² - 6x + 15)/(x - 3)².

روش 2 از 4: مشتقات ضمنی

مرحله 1. اگر معادله شما نمی تواند با y در یک طرف نوشته شود ، از مشتقات ضمنی استفاده کنید

در واقع ، اگر y را در یک طرف بنویسید ، محاسبه dy/dx خسته کننده خواهد بود. در اینجا مثالی از نحوه حل این نوع معادله آورده شده است.

مرحله 2. در این مثال ، x²y + 2y³ = 3x + 2y ، y را با f (x) جایگزین کنید ، بنابراین به یاد خواهید آورد که y در واقع یک تابع است.

سپس معادله x می شود²f (x) + 2 [f (x)]³ = 3x + 2f (x).

مرحله 3. برای یافتن مشتق این معادله ، هر دو طرف معادله را با توجه به x استخراج کنید

سپس معادله x می شود²f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]²f '(x) = 3 + 2f' (x).

مرحله 4. f (x) را دوباره با y جایگزین کنید

مراقب باشید f '(x) را که با f (x) متفاوت است جایگزین نکنید.

مرحله 5. f '(x) را بیابید

پاسخ این مثال (3 - 2xy)/(x) می شود² + 6 سال² - 2).

روش 3 از 4: مشتقات مرتبه بالاتر

مرحله 1. بدست آوردن یک تابع مرتبه بالاتر به این معنی است که شما مشتق (به ترتیب 2) را مشتق می کنید

به عنوان مثال ، اگر مشکل از شما می خواهد که مرتبه سوم را بدست آورید ، فقط مشتق مشتق مشتق را بگیرید. برای برخی از معادلات ، مشتق مرتبه بالاتر 0 خواهد بود.

روش 4 از 4: قانون زنجیره ای

مرحله 1. اگر y یک تابع دیفرانسیل از z است و z یک تابع دیفرانسیل از x است ، y یک تابع مرکب از x است و مشتق y از نظر x (dy/dx) (dy/du)* است (du/dx)

قاعده زنجیره ای همچنین می تواند ترکیبی از معادلات قدرت باشد ، مانند: (2x⁴ - ایکس)³به برای یافتن مشتق ، فقط مانند قانون ضرب به آن فکر کنید. معادله را در توان ضرب کرده و 1 را به توان کاهش دهید. سپس ، معادله را با مشتق معادله داخل پرانتز که قدرت را افزایش می دهد ضرب کنید (در این حالت ، 2x^4 - x). پاسخ این س 3ال 3 (2 برابر) است⁴ - ایکس)²(8 برابر³ - 1).

نکات

• هر زمان که مشکلی را برای حل مشکل می بینید ، نگران نباشید. فقط سعی کنید با استفاده از قوانین ضرب ، ضریب و غیره آن را تا آنجا که ممکن است به قسمتهای کوچکتر تقسیم کنید. سپس ، هر قسمت را پایین بیاورید.
• با قانون ضرب ، قانون ضریب ، قانون زنجیره و به ویژه مشتقات ضمنی تمرین کنید ، زیرا این قوانین در محاسبه بسیار مشکل تر هستند.
• ماشین حساب خود را خوب بشناسید ؛ توابع مختلف ماشین حساب خود را امتحان کنید تا نحوه استفاده از آنها را بیاموزید. بسیار مفید است که بدانید چگونه از مماس ها و توابع مشتق شده در ماشین حساب خود استفاده کنید ، در صورت وجود آنها.
• مشتقات اصلی مثلثاتی و نحوه استفاده از آنها را به خاطر بسپارید.